11 лекций по линейной алгебре (стр. 5 )

1.6 Критерии линейной зависимости и независимости

Вначале рассмотрим первый критерий линейной зависимости и независимости системы векторов, который одновременно дает алгоритм для решения соответствующих практических задач.

Теорема 1. 1) Для того, чтобы система векторов в проcт-

ранстве была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы

нашлись такие скаляры , среди которых есть хотя бы один ненулевой, что выполняется равенство

(1.7)

2) Для того, чтобы система векторов в пространстве была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство (1.7) выполнялось только в одном случае, когда

◄ Необходимость. Пусть =ЛЗС. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что вектор линейно выражается через остальные векторы системы,

.

В противном случае поменяем векторы местами и учтем свойство 1) линейно зависимых систем. Из последнего равенства следует, что

То есть равенство (1.7) выполняется и

Достаточность. Пусть равенство (1.7) выполнено и, например, Тогда существует число и

то есть =ЛЗС.

Утверждение 2) рассматриваемой теоремы может быть доказано методом от противного. ►

Теорема 2. Если в системе векторов то для того, чтобы эта система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов этой системы был линейной комбинацией предыдущих векторов этой системы.

◄ Необходимость. Пусть =ЛЗС. Выпишем следующие ее подсистемы:

… …

… … … …

.

Первая подсистема =ЛНЗС, так как Последняя подсистема

=ЛЗС по условию. Поэтому найдется такой номер что =ЛНЗС, а =ЛЗС.

По теореме 1 существуют такие числа , среди которых есть хотя бы одно ненулевое, что выполняется равенство

(1.8)

Но так как в противном случае (то есть при )

и по теореме 1 =ЛЗС. Поэтому из равенства (1.8) следует, что

Достаточность. Является следствием свойства 4 из п.1.5 и определения ЛЗС. ►

1.7 Алгоритмы определения линейной зависимости и независимости

Основной алгоритм определения линейной зависимости или линейной независимости системы векторов основан на теореме 1 и опирается на тот факт, что равенство ( а на самом деле уравнение относительно ) (1.7), как правило, равносильно некоторой системе линейных однородных уравнений относительно . Поэтому вопрос о линейной зависимости (независимости) исходной системы векторов сводится к вопросу существования ненулевого (только нулевого) решения получаемой однородной СЛАУ. (см.[], п.2.4).

Пример 10. Выяснить, является ли следующая система векторов пространства линейно зависимой

.

◄ Составим уравнение (1.7),

или

По принципу равенства матриц

= 0,

= 0,

= 0.

Полученную систему уравнений решаем методом Гаусса ([], п.2.2)

.

Наличие свободной переменной говорит о том, что полученная однородная СЛАУ имеет ненулевое решение. Следовательно, ЛЗС.

Более того, мы имеем возможность показать, как некоторой вектор данной системы выражается в виде линейной комбинации остальных ее векторов. Для этого достаточно найти какое – нибудь частное решение изучаемой однородной СЛАУ.

Например, пусть . Тогда из последней матрицы следует, что , то есть и то есть Следовательно,

то есть

в чем читатель может убедиться самостоятельно, сделав контрольную проверку.►

Пример 11. Выяснить, является ли следующая система векторов пространства линейно зависимой,

.

◄ Составим уравнение вида (1.7),

или

Равносильная однородная СЛАУ имеет вид

Решая ее методом Гаусса, получаем, что

.

То есть рассматриваемая СЛАУ имеет лишь нулевое решение. Следовательно, ЛНЗС.►

Отметим, что в примерах 10 и 11 использован универсальный алгоритм определения линейной зависимости или независимости системы векторов. При этом во время решения конкретных задач не следует пренебрегать и частными методами, например, «теоретическими» признаками линейной зависимости и независимости. Часто внимательный взгляд на изучаемую систему векторов позволяет определить ее линейную зависимость (или независимость) без выписывания и решения соответствующей однородной СЛАУ.

Пример 12. Являются ли следующие системы векторов, матриц, многочленов линейно зависимыми или линейно независимыми системами:

1)  в ;

2)  в ;

3)  в ;

4)  в ;