11 лекций по линейной алгебре (стр. 2 )

Рис. 1.1 Рис. 1.2

 

Рис. 1.3 Рис. 1.4

В результате мы замечаем, что на множествах объектов различной природы (арифметических и геометрических векторов) в терминах операций сложения и умножения на число справедливы одинаковые утверждения. Эти примеры роднит то, что в каждом из полученных утверждений мы воспользовались языком теории линейных пространств. Структура линейного пространства уже проявилась. Естественно возникающий вопрос - «каковы все системы векторов из или (и) из , для которых справедливы полученные утверждения?» - это уже вопрос новой теории, к систематическому изучению которой мы приступаем в следующем пункте.

1.2 Структура линейного пространства

В первой части нашего курса ([], п.1.9) уже было дано определение линейного пространства над полем F. Пусть L непустое множество, элементы которого будем обозначать строчными латинскими буквами и называть векторами, а F – поле, элементы которого будем обозначать строчными греческими буквами и называть скалярами. Говорят,

что на задана структура линейного (векторного) пространства над полем , если на определены две операции: операция сложения векторов (внутренний закон композиции), сопоставляющая каждой паре векторов и из

вектор , принадлежащий и называемый суммой и , и операция умножения вектора на скаляр (внешний закон композиции над полем ), сопоставляющая каждому вектору из и каждому скаляру из вектор

, принадлежащий и называемый произведением вектора на скаляр

. При этом указанные операции обладают следующими свойствами (эти свойства называются аксиомами линейного пространства):

1. 

2.  для любых

3.  существует вектор такой, что для любого вектора

4.  для любого вектора существует вектор такой, что

5. 

6. 

7. 

8.  для любых векторов и скаляров

Вектор из аксиомы 3) называется нуль – вектором, а вектор из аксиомы 4) называется противоположным вектору и обозначается

Если , то есть на определено умножение на вещественные числа, тогда называется вещественным линейным (векторным) пространством и обозначается если , тогда называется комплексным линейным (векторным) пространством и обозначается Всюду в дальнейшем будем предполагать, что поле бесконечно, а линейное пространство с умножением на скаляры из обозначать Отметим, однако, что все основные положения изучаемой ниже теории справедливы и для конечных полей .

Прежде, чем рассмотреть примеры линейных пространств, отметим ряд простейших свойств, вытекающих из определения линейного пространства и несколько «смягчающих» абстрактные формулировки 1) – 8).

1.  Единственность нуль – вектора.

◄ Если предположить, что наряду с вектором аксиоме 3) удовлетворяет еще и вектор , тогда

►

2.  Единственность противоположного вектора.

◄ Если предположить, что для некоторого вектора наряду с вектором аксиоме 4) удовлетворяет вектор , тогда

►

3.  Для любого вектора .

◄ Действительно,

►

4.  Для любого скаляра

◄ Так как случай только, что рассмотрен, положим Для любого вектора