11 лекций по линейной алгебре (стр. 14 )

Следствие 1. Пусть L L= L. Тогда

(L L)=L L. (2.6)

◄ Так как L L =L (L L) то для получения равенства (2.6) достаточно воспользоваться формулой (2.3).►

Следствие 2. Пусть L L= L, Б1 и Б2 базисы соответственно в L и L. Тогда базис в подпространстве L L.

◄См. доказательство теоремы 1, формулу (2.4).►

2.4. Линейные оболочки.

Пусть векторы Совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой, натянутой

на векторы , и обозначается

L (2.7)

Систему векторов будем называть остовом линейной оболочки L

Отметим ряд свойств линейных оболочек.

1)  Линейная оболочка L вида (2.7) является подпространством пространства .

◄ L

L для любых и из . Ввиду замечания 4 L является подпространством пространства .►

2) Если ПС в пространстве , тогда

Если ПС в подпространстве L ( пространства ), тогда L =.

В частности, если = Б в ( или в L ), тогда =

=L ( или L = L).

Из свойств 1) и 2) следует, что язык линейных оболочек является универсальным при описании подпространств данного линейного пространства. Любое подпространство можно представить в виде линейной оболочки, натянутой на некоторую систему векторов данного линейного пространства.

3) Пусть , и L. Тогда LL ◄ L. Но все векторы являются линейны-

ми комбинациями векторов из является линейной комбинацией

векторов из . L LL .►

2.5. Размерность и базис линейной оболочки.

Вначале дадим определение ранга конечной системы векторов.

Определение. Пусть . Будем говорить, что ранг этой системы векторов равен r и писать

rang= rang r,

если существует линейно независимая подсистема данной системы векторов, состоящая из r векторов, а любая подсистема данной системы векторов, состоящая из r+1 вектора, является линейно зависимой.

Заметим, что

1)  rang= 0

2)  rang,

3)  для любых

rang min().

Теорема 2. Размерность линейной оболочки L совпадает с рангом ее остова, L= rang.

Если r = rang, любая линейно независимая подсистема остова , состоящая из r векторов, является базисом в L.