11 лекций по линейной алгебре (стр. 17 )

.

◄ = и = . ►

2) 

3)  Если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то = .

◄ См. следствия из теорем 3 и 4 и теорему 6. ►

4)  Если где Тогда

= .

◄ В силу первого критерия обратимости матрицы ([8], п. 1.13) матрицы

и представимы в виде произведений элементарных матриц соответствующего порядка. Отсюда следует, что матрица А может быть получена из матрицы с помощью конечного числа элементарных преобразований. В силу предыдущего свойства = .►

5)  Пусть , и

Тогда

(2.9)

◄ По правилу умножения матриц

LС= LС=

= LС LСАналогично

LС LС =

= LСLС

.►

Предлагаем читателю показать точность неравенства (2.9) и привести примеры матриц В и С, подтверждающие что может принимать любое значение из отрезка [].

В качестве следствия основной теоремы о ранге матрицы получаем следующий критерий равенства нулю определителя квадратной матрицы.

Теорема 7. Пусть . Следующие утверждения равносильны:

1) ;

2) найдется строка являющаяся ЛКО строк матрицы А;

3) найдется столбец , являющийся ЛКО столбцов матрицы А.

◄ Нижеследующее доказательство называется «цепным». Оно предполагает проверку истинности импликаций: 1)2), 2)3) и 3)1).

В самом деле,

1) ЛЗС, 2) ЛЗС,

ЛЗС, 3) ЛЗС, , 1).►

2.10.  Ранг матрицы и отношение эквивалентности.

Напомним ([8], п. п. 1.11, 1.12), что две матрицы А и В, , называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц А и В обозначается формулой

Теорема 8. Пусть . Для того, чтобы матрицы А и В были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы

◄ Необходимость. Пусть Тогда по свойству 3 ранга матрицы.

Достаточность. Пусть Тогда ([9], п. 1.11, предложение 1.4) и ►