11 лекций по линейной алгебре (стр. 1 )

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

факультет математики, механики и компьютерных наук

кафедра алгебры и дискретной математики

11 лекций по линейной алгебре

Методическое пособие первокурснику

Часть 2

Модуль 1

Линейное пространство

Модуль 2

Подпространство

Ростов-на-Дону

2009 г.

Глава 1.

Линейное пространство.

Вторая часть нашего курса – «Линейная алгебра», посвящена изучению алгебраической структуры, называемой линейным (векторным) пространством. Эта структура порождается заданием на некотором множестве двух операций: внутреннего закона композиции, записываемого как сложение элементов из L , и внешнего закона композиции, записываемого как умножение элементов из L на числа из некоторого поля . Заданные операции обладают определенным набором свойств, неоднократно встречавшихся в первой части нашего курса. Например, это свойства операций сложения матриц и умножения матриц на скаляры.

Вначале на двух примерах из уже знакомых слушателям областей: теории СЛАУ и векторной алгебры, - мы проследим, как структура линейного пространства проявляется естественным образом при обсуждении вопросов разрешимости системы линейных алгебраических уравнений и разложения геометрических векторов в линейные комбинации.

После этого, вводя общее определение линейного пространства, мы обнаружим, что этому определению подчиняется большое количество объектов различной природы (чисел, арифметических и геометрических векторов, матриц, функций и многочленов). Это дает нам основание осознать, что все эти множества должны обладать одинаковыми свойствами, если эти свойства сформулированы в терминах двух исходных операций. Преимущества такого подхода (он называется алгебраическим) очевидны, так как он позволяет изучать одновременно целый класс множеств, избегая однообразных и утомительных повторений при переходе от изучения одного множества данного класса к другим.

После этого мы приступим к изучению строения общего линейного векторного пространства и в результате обнаружим, что все линейные векторные пространства (над данным полем) на данном уровне изучения настолько схожи друг с другом, что каждое из них можно отождествлять с пространством (пространством , если , пространством , если , и т. д.). В качестве первого важного приложения мы построим завершенную теорию разрешимости систем линейных алгебраических уравнений, изучение которых было начато в предыдущей части нашего курса.

Лекция 1.

План

1.1 Введение

1.2 Структура линейного пространства

1.3 Примеры

1.1 Введение

Начнем с рассмотрения двух ранее обещанных примеров.

Пример 1. Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными вида

(1.1)

поставим вопрос - «для каких наборов правых частей эта система уравнений совместна?»

Для решения этого вопроса воспользуемся матричной формой системы (1.1) ( ),

, (1.2)

где

Равенство (1.2) имеет вид

и может быть записано в следующей форме

или (1.3)

Из (1.1) и (1.2) следует, что существование решения равносильно тому, чтобы правая часть являлась линейной комбинацией вида (1.3). В результате мы получаем следующее утверждение: «для того, чтобы система (1.1) была совместна при данной правой части b, необходимо и достаточно, чтобы b являлась линейной комбинацией столбцов матрицы А этой системы». Тем самым мы получили утверждение о совместности СЛАУ в терминах сложения арифметических векторов и умножения их на число.

Имея достаточно разработанную теорию СЛАУ, мы можем пойти и дальше. Так как

то по теореме Крамера () СЛАУ (1.1) является определенной при любой правой части b. Откуда мы получаем еще одно утверждение, выводящее нас за рамки теории СЛАУ: «любой арифметический вектор представим единственным образом в виде линейной комбинации вида (1.3), где ».

Пример 2. Обратимся к множеству геометрических векторов на плоскости, выходящих из начала координат О. Пусть и любые два вектора в , не лежащие на одной прямой. Как известно, сложение таких векторов осуществляется по правилу параллелограмма (см. Рис.1), а умножение на число – по правилу сжатия-растяжения и отражения (см. Рис.2)

Рис.1 1

 

Следующие рисунки 1.1 - 1.4 фактически дают геометрическое доказательство уже знакомого по форме утверждения: « любой вектор можно представить в виде линейной комбинации неколлинеарных векторов и , ». Ниже предполагается, что вектора и фиксированы, а скаляры и отличны от нуля и имеют четыре комбинации знаков в зависимости от положения вектора .

О

О