11 лекций по линейной алгебре (стр. 20 )

Остается доказать полноту построенной системы решений в подпрост - странстве Пусть - произвольное решение системы уравнений (2.13), записанное в виде (2.16). По теореме 10 (см. Табл.1)

Но решение с нулевым «хвостом» может иметь только нулевое «тело». Поэтому

ПС в

ФСР в |ФСР| ►

Следствие 1. Общее решение однородной системы уравнений (2.13) может быть представлено в виде

где а ФСР в (2.17)

Следствие 2. Пусть Для того, чтобы система однородных уравнений (2.13) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы

матрица А была вырожденной, то есть

◄ Из теоремы 11 следует, что

►

Следствие 3. Пусть Тогда

(2.18)

где n – количество неизвестных в СЛАУ (2.10), совпадающее с размерностью пространства, в котором разыскиваются ее решения.

◄ Действительно, (теорема 11), а (следствие к теореме 10). Откуда и вытекает формула (2.18).►

Замечание 8. Доказательство теоремы 11 содержит алгоритм нахождения ФСР для однородной СЛАУ. Подробнее он рассмотрен в методическом пособии [12], п.5.

2.13.  Теорема Кронекера-Капелли.

Критерий совместности неоднородной СЛАУ в терминах ранга матрицы имеет следующий вид.

Теорема 12 (Кронекер-Капелли). Для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений вида (2.10) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с рангом ее расширенной матрицы,

(2.19)

Здесь матрица А имеет вид (2.11), а матрица В – вид (2.12).

◄ Система уравнений (2.10) совместна тогда и только тогда, когда ее правая часть

L(A)(теорема 10) L(A) = L(В) =

(свойство 3 линейных оболочек).

Так как для любых линейная оболочка L(A) является подпространством в пространстве L(В), то L(A) = L(В) L(A) = L(В) (теорема 2) (основная теорема о ранге матрицы).

Таким образом, система уравнений (2.10) совместна тогда и только тогда, когда выполняется условие (2.19).►

2.14.  Общее решение неоднородной СЛАУ и критерий ее

определенности.

В первой части этого курса под общим решением системы линейных алгебраических уравнений мы понимали множество всех ее решений. Теперь мы можем более подробно описать это множество.

Теорема 13. Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений имеет вид

, (2.20)

где имеет вид (17), а любое фиксированное решение СЛАУ (2.10).

◄ Формулировка теоремы предполагает доказательство двух утверждений: во-первых, что любой вектор, имеющий вид (2.20), является решением СЛАУ вида (2.10) или матричного уравнения , а во-вторых, что для любого решения системы уравнений (2.10) найдутся такие числа что , где ФСР для однородной системы (2.13).

Действительно, пусть

, где .

Тогда

,

то есть - решение системы вида (2.10).

Обратно, пусть - решение системы вида (2.10), то есть Но

,

то есть найдутся такие числа что

.►

Из теоремы 13 вытекает следующий критерий определенности СЛАУ.

Теорема 14. Для того чтобы система уравнений вида (2.10) была определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(2.21)

где число неизвестных в системе (2.10).

◄ Если система уравнений (2.10) определена, то она совместна и имеет только одно решение. Отсюда по теореме Кронекера-Капелли , а по теореме 13

(21).►

2.15.  Приложения.

Выше было отмечено, что любое подпространство данного линейного пространства можно задать в виде линейной оболочки, натянутой на произвольную полную систему векторов этого подпространства. Если ограничить-ся подпространствами пространства , то любое из них можно задать как подпространство решений однородной СЛАУ с n неизвестными.

Теорема 15. Пусть L - линейная оболочка в пространстве и

.

Тогда найдется такая матрица что L

◄ Рассмотрим неоднородную СЛАУ с матрицей А и правой частью

(2.22)

Вектор L в том и только том случае, когда СЛАУ (2.22) совместна. Считая, что применим к данной системе уравнений метод Гаусса. Пусть матрица приведенного вида, получаемая из матрицы А строчными элементарными преобразованиями, имеет вид