11 лекций по линейной алгебре (стр. 19 )

и расширенной матрицей

. (2.12)

С системой уравнений вида (2.10) свяжем два множества: множество решений однородной СЛАУ с матрицей А и множество правых частей системы уравнений (2.10), для которых последняя является совместной.

Теорема 10. Множество является подпространством в пространстве а множество является подпространством в пространстве

◄ Напомним, что совпадает с множеством решений матричного уравнения а совпадает с множеством правых частей, для которых матричное уравнение разрешимо.

◄Пусть то есть Тогда для любых

подпространство в пространстве

Для справедливости второго утверждения достаточно показать, что

=

В самом деле, тогда и только тогда, когда найдется такой вектор что подпространство в пространстве►

Следствие. Пусть Тогда а базис в образуют любые r столбцов матрицы А.

◄ По теореме о размерности и базисе линейной оболочки (теорема 2)

►

2.12.  Фундаментальная система решений и общее решение

однородной СЛАУ.

Следующая теорема 11 позволяет не только вычислять , но и находить базис в , который называется фундаментальной системой решений (ФСР). В качестве ее следствия мы получим описание общего решения однородной СЛАУ.

Теорема 11. Пусть Тогда

◄ Однородная СЛАУ с матрицей А = имеет вид

(2.13)

Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что первые r строк матрицы А образуют ЛНЗС. В противном случае мы можем поменять местами уравнения в (2.13) таким образом, чтобы обеспечить это условие. Ясно, что при этом мы получим систему уравнений, равносильную исходной СЛАУ. Отбрасывая в системе (2.13) последние m-r уравнений, получаем равносильную ей однородную СЛАУ

(2.14)

с матрицей В, где

.

В самом деле, ЛНЗС, где ЛКП для всех Поэтому найдется конечное число элементарных преобразований СЛАУ, приводящих систему вида (2.13) к виду (2.14). Равносильность систем (2.13) и (2.14) следует из [8], п.2.2.

Ясно, что Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что r первые столбцов матрицы В образуют ЛНЗС. В противном случае произведем такие переименования неизвестных в системе (2.14), которые обеспечат это требование. Систему (2.14) запишем в виде

(2.15)

и заметим, что по теореме 7

Очевидно, что система (2.15) равносильна системе (2.13). Назовем ее «инкубатором» для выращивания решений. Если

(2.16)

решение системы (13), а значит, и системы (15), то фрагмент будем

называть «телом» решения f , а фрагмент - его «хвостом». Пока-

жем, что подстановка «хвоста» в «инкубатор» (2.15) позволяет однозначно определить «тело» решения (2.16).

Действительно, подставляя числа в правые части системы (2.15), мы получаем систему r уравнений с r неизвестными

и определенными правыми частями. Так как основная матрица этой системы невырожденная, по теореме Крамера эта система имеет единственное решение. Но очевидное решение этой системы. Следовательно, других решений у нее нет, и «хвост» решения с помощью «инкубатора» однозначно определяет «тело» этого решения. В частности, нулевой «хвост» может иметь только нулевое «тело».

Переходя к построению ФСР (фундаментальной системы решений), задаем «хвостов» так как это сделано в правой части Табл.1. Подставляя их

в «инкубатор», определяем недостающие «тела» решений Эти ре

шения образуют ЛНЗС в пространстве так как матрица

,

составленная из векторов пространства принадлежит пространству и

Табл.1