11 лекций по линейной алгебре (стр. 7 )

при подстановке в него векторов принимает вид

и равносильно системе числовых равенств

Следовательно,ЛНЗС+ПС=Б.►

Пример 19. Система векторов является базисом в пространстве . Полнота этой системы обсуждена в примере 14, а линейная независимость векторов вытекает из их взаимной перпендикулярности. Из теории векторной алгебры известно, что линейная комбинация взаимно - перпендикулярных векторов равна нуль – вектору только в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.

Пример 20. Система многочленов является базисом в пространстве Полнота этой системы обсуждена в примере 16, а линейная независимость векторов является следствием определения нуль – многочлена как многочлена, у которого все коэффициенты равны нулю,

Пример 21. Система матриц

(1.13)

порядка , у которых все элементы кроме одного, равного 1, равны нулю, является базисом в пространстве Полнота этой системы матриц доказывается так же как в примерах 13 и 15. А линейная независимость – так же как в примере 18.

Базисы, описанные в примерах 18-21, мы будем называть стандартными базисами пространств и Ближайшей же нашей задачей является описание всех базисов в линейных пространствах.

1.10 Размерность и базис

Поскольку только что поставленная задача в общем случае является сложной, мы вынуждены ограничиться сравнительно узким классом линейных пространств, так называемых конечномерных пространств, для которых задача описания всех базисов имеет полное решение. Для этого необходимо ввести понятие размерности линейного пространства.

Определение. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое число векторов, образующих линейно независимую систему.

Если же существует такое натуральное число n, что в линейном пространстве не может быть линейно независимых векторов больше чем n, такое линейное пространство называется конечномерным.

Определение. Максимальное число линейно независимых векторов конечномерного пространства называется его размерностью и обозначается .

Замечание 3. Отметим, что равенство равносильно справедливости двух следующих утверждений:

1) в пространстве существует ЛНЗС, состоящая из n векторов;

2) любая система, состоящая из n+1 вектора пространства , является ЛЗС.

Для бесконечномерного пространства размерность считается равной бесконечности и записывается

Пример 22. Пространство всех многочленов с коэффициентами из поля является бесконечномерным (напомним, что в данном курсе мы рассматриваем только бесконечные поля).

◄Действительно, из примера 20 следует, что система многочленов

ЛНЗС при любых Поэтому ►

Пример 23. Пространство , всех функций одной переменной, непрерывных на отрезке , является бесконечномерным, так как та же самая система состоит из непрерывных на , а значит и на функций, и является линейно независимой ([],). Таким образом,

Пример 24. Пространство является конечномерным и

◄Действительно, на основании п.1.7 (см. пример 10) любая система векторов из пространства является линейно зависимой, поскольку порождаемая уравнением (1.7) однородная СЛАУ всегда имеет уравнений с +1 неизвестными и поэтому обладает ненулевым решением ([],п.2.4). С другой стороны, система векторов вида (1.9) состоит из векторов и линейно независима (см. пример 18). ►

Замечание 4. Понятие размерности линейного пространства позволяет очертить границы той области математики, которая называется «линейной алгеброй». Линейная алгебра это теория конечномерных линейных пространств. За ее границами находится уже другая ( родственная!) дисциплина - функциональный анализ, изучающая бесконечномерные пространства.

Теорема 4. Пусть Тогда в пространстве существует базис, состоящий из векторов.

◄ Из определения размерности конечномерного пространства следует, что в пространстве существует ЛНЗС= и любая система из+1 вектора является ЛЗС. Пусть произвольный вектор. Тогда=ЛЗС. По теореме 2 один из векторов этой системы является линейной комбинацией предыдущих векторов этой системы. Ни один из векторов не может быть таковым, поскольку =ЛНЗС. Поэтому линейной комбинацией предыдущих может быть только вектор

Откуда следует полнота, а поэтому и базисность системы

векторов . ►

Теорема 5. Пусть в пространстве существует базис, состоящий из векторов. Тогда пространство конечномерно и

◄ Для доказательства этой теоремы применим метод вытеснения (см.[],§8), который будет полезен нам и в дальнейшем.

Пусть базис в . Покажем, что любая система из вектора в пространстве является ЛЗС,

=ЛЗС. (1.14)

Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что все подсистемы

…,

являются линейно независимыми. В противном случае утверждение (1.14) в доказательстве не нуждается ввиду свойств 1 и 3 из п.1.5.

На первом шаге рассмотрим систему векторов