11 лекций по линейной алгебре (стр. 6 )

5)  в ;

6)  в

◄ 1) ЛЗС, так как (свойство 4, п.1.5).

2) ЛЗС, как содержащая нуль –матрицу (свойство 2, п.1.5).

3) ЛЗС, так как (свойство 6, п.1.5).

4) = ЛЗС, так как легко усмотреть, что (определение ЛЗС).

5) =ЛНЗС, так как никакими линейными комбинациями матриц нельзя получить нуль-матрицу. У матриц ненулевые элементы стоят на разных местах! (1-й критерий ЛЗС и ЛЗНС).

6) =ЛЗС, так как получаемая однородная СЛАУ будет иметь два уравнения и три неизвестных, то есть является неопределенной (см. []).►

Лекции 3 и 4

План

1.8 Полные системы векторов

1.9 Базисы

1.10 Размерность и базис

1.11 Описание полных систем и дополнение

линейно независимых систем до базисов

1.8 Полные системы векторов

В первой лекции, в ее вводной части мы столкнулись с системами векторов, обладающих тем свойством, что любой вектор линейного пространства линейно выражается через векторы рассматриваемой системы (любые 2 неколлинеарных вектора в пространстве , система столбцов невырожденной матрицы в пространстве ). Такое свойства системы векторов называется ее полнотой.

Определение. Система векторов линейного пространства называется полной (в пространстве ), если любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Полноту системы векторов часто будем обозначать так:

=ПС.

Пример 13. Система векторов

(1.9)

является полной в пространстве .

◄ Действительно, любой вектор можно представить в виде

►

Пример 14. Система векторов является полной в пространстве , так как любой вектор этого пространства с использованием правил параллелепипеда, параллелограмма, растяжения-сжатия и поворота вектора можно представить в виде линейной комбинации указанной тройки векторов.

Пример 15. Система матриц , где

является полной в пространстве

Указание. Воспользоваться идеей примера 12.

Пример 16. Система многочленов является полной в пространстве ввиду определения произвольного многочлена степени как линейной комбинации многочленов этой системы,

Отметим следующие свойства полных систем.

1) Конечное расширение полной системы есть полная система.

◄ Указание. Воспользоваться свойством 4 из п.1.5.►

2) Для того, чтобы сужение полной системы было полной системой, необходимо и достаточно, чтобы выбрасываемые векторы являлись линейными комбинациями оставшихся векторов.

◄ Необходимость. Пусть полная система после выбрасывания нескольких ее векторов остается полной. Тогда любой вектор линейного пространства (в том числе и выброшенные векторы!) является линейной комбинацией оставшихся векторов данной системы.

Достаточность. Пусть выброшенные векторы являются линейными комбинациями оставшихся векторов полной системы. Так как любой вектор пространства линейно выражается через векторы исходной системы, а выброшенные векторы линейно выражаются через оставшиеся векторы этой системы, то любой вектор пространства линейно выражается через оставшиеся векторы системы. Это и есть полнота системы оставшихся векторов.►

1.9 Базисы

Представление произвольного вектора линейного пространства в виде линейной комбинации полной системы векторов этого пространства, как правило, не является единственным.

Пример 17. Система векторов

является полной системой векторов в пространстве R2 как расширение пол-

ной системы (см. пример 13). Очевидно, что вектор В то же время легко проверить, что ►

Причиной этого явления является линейная зависимость рассматриваемой полной системы. Если же полная система линейно независима, тогда любой вектор пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации векторов этой системы. Условие линейной независимости выделяет среди всех полных систем класс систем, носящих название базисов.

Определение. Полная, линейно независимая система векторов в линейном пространстве называется базисом этого пространства.

Теорема 3. (Основное свойство базиса) Любой вектор линейного пространства единственным образом представим в виде линейной комбинации базисных векторов.

◄ Пусть - базис в пространстве ( кратко =Б) и пусть . Тогда существуют такие числа , что

(1.10)

Если предположить, что существует еще одно аналогичное разложение вектора по данному базису,

(1.11)

где тогда вычитая из равенства (1.10) равенство (1.11), получаем, что

(1.12)

Так как =ЛНЗС, то в силу первого критерия линейной независимости системы векторов (теорема 1) из равенства (1.12) следует, что

Откуда ►

Пример 18. Система векторов вида (1.9) является базисом в пространстве . Полнота этой системы доказана в примере 13. Ее линейная независимость является вытекает из теоремы 1. В самом деле, равенство