Лекции по начертательной геометрии (стр. 11 )

На комплексном чертеже поверхность задается проекциями элементов определителя. Количество геометрических элементов должно быть минимальным, но достаточным, чтобы по ним однозначно можно было заключить: какая поверхность задана на комплексном чертеже.

Поверхность считается заданной:

- если можно построить любую ее образующую;

- если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить вторую ее проекцию.

Основной задачей при изучении раздела «Поверхности» является построение проекций поверхности по заданному комплексному чертежу проекций определителя. Чтобы построить проекции поверхности, надо дополнить проекции элементов определителя проекциями линий контура, проекциями линий обрыва. В этом случае достигается наглядное изображение поверхности на чертеже.

Линией контура называется линия, по которой проецирующие лучи касаются данной поверхности. Так на рис. 5.2 проекции а¢ и b¢ являются линиями контура поверхности Q на плоскости проекций П¢.

Чтобы ограничить размеры поверхности форматом чертежа, поверхность обрезают какой-либо плоскостью. Чаще всего используют проецирующую плоскость. Полученная линия называется линией обрыва. На рис. 5.2 линиями обрыва служат проекции d¢ и f¢ поверхности Q. Таким образом, совокупность проекций определителя, линий контура, линий обрыва называют проекцией поверхности.

Очерк проекции - линия, ограничивающая проекцию поверхности.

5.2. Линейчатые поверхности c одной направляющей

Линейчатыми называются поверхности, у которых образующая l является прямой линией.

К линейчатым поверхностям с одной направляющей относятся:

- коническая поверхность;

- цилиндрическая поверхность;

- пирамидальная поверхность;

- призматическая поверхность.

5.2.1. Коническая и пирамидальная поверхности

Коническая и пирамидальная поверхности образуются движением прямолинейной образующей l, один конец которой движется по направляющей m, а другой конец образующей проходит через фиксированную точку S, называемую вершиной поверхности.

Если направляющая m- кривая линия, поверхность называется конической. Если направляющая m- ломаная линия, поверхность называется пирамидальная.

Направляющая линия m может быть как замкнутой (рис.5.3 а, б), так и разомкнутой линией (рис. 5.3 в, г).

Согласно определению в определитель конической и пирамидальной поверхностей Σ входят вершина S и направляющая m, т. е. Σ(S,m). Закон образования таких поверхностей гласит, что прямолинейная образующая l при движении пересекает направляющую линию m и проходит через вершину S конической поверхности, т. е.[ l Ç m, l É S].

На рис. 5.4а заданы проекции определителя конической поверхности, а на рис. 5.4б заданы проекции определителя пирамидальной поверхности.

а) Для построения проекций конической поверхности дополним элементы определителя образующими, которые проходят через крайние точки направляющей m и вершину S конической поверхности – это линии обрыва, а также образующими, которые являются линиями контура (рис. 5.5а).

 

Линия контура (образующая) проводится из вершины S по касательной к направляющей m поверхности. На различных проекциях поверхности S1 и S2 линии контура могут быть разными. Так на S1 линия контура отсутствует, а на S2- линией контура является проекция образующей l2′. Изображение проекций конической поверхности представлено на рис. 5.5а.

б) Направляющая m пирамидальной поверхности обычно называют основанием пирамидальной поверхности. Для построения проекций поверхности каждую вершину основания соединяют образующими l с вершиной S пирамидальной поверхности. Такие образующие называются ребрами, а плоскости между двумя ребрами называются гранями пирамидальной поверхности. Окончательно проекции пирамидальной поверхности будут выглядеть так, как изображено на рис. 5.5б.

5.2.1а. Определение видимости образующих конической и пирамидальной поверхностей

а). Рассматривая проекции конической поверхности (рис. 5.6), видим, что на горизонтальной проекции поверхности все линии видимые, т. е. не скрыты телом поверхности. На фронтальной проекции поверхности образующая l2 и часть направляющей m (заштрихованная область) может находиться как ближе к наблюдателю (т. е. видимая), так и повернута от наблюдателя, т. е. скрыта телом поверхности (следовательно, невидимая). Чтобы это определить, воспользуемся методикой определения видимости с помощью конкурирующих точек (см. п. 2.3 раздела 2).

Продолжим проекцию образующей l2 до встречи с направляющей m2. Возьмем две фронтально – конкурирующие точки 12 º 22. Пусть точка 1 принадлежит образующей l, т. е. 1 Ì l, а точка 2 принадлежит направляющей m, т. е. 2 Ì m. Из двух фронтально конкурирующих точек видимой будет та, горизонтальная проекция которой ниже.

Так как проекция 11 точки 1 ниже проекции 21 точки 2, а точка 1 Ì l, следовательно, на фронтальной проекции поверхности проекция l2 образующей видимая и весь заштрихованный участок видимый, как это изображено на рис. 5.5а.

б). После проведения образующих на проекциях пирамидальной поверхности, требуется определить видимость ребер и сторон основания пирамиды с помощью конкурирующих точек. Чтобы удобнее было решать задачу, каждую вершину основания обозначим А, В, С, D (рис. 5.7).

На горизонтальной проекции поверхности определим видимость ребра S1B1 и стороны А1D1 основания. Обозначим конкурирующие точки 31 и 41, т. е. 31 º 41. Пусть точка 3 принадлежит стороне основания АD, а точка 4 ребру SB. Из двух горизонтально - конкурирующих точек видимой будет та, фронтальная проекция которой выше. Поскольку проекция 42 выше чем 32, а точка 4 Ì SB, то на горизонтальной проекции поверхности ребро S1B1 изображается видимым, соответственно, сторона А1D1 считается невидимой и изображается штриховой линией.

На фронтальной проекции поверхности определим видимость ребра S2D2 и стороны основания В2С2. Из двух фронтально - конкурирующих точек 12 и 22 (12 º 22) видимой будет та, горизонтальная проекция которой ниже. Пусть точка 1Ì ВС, а точка 2Ì SD. Т. к. проекция 21 ниже, чем 11, следовательно, S2D2 видимая, а сторона основания В2С2 невидимая. В данном варианте точка В2 лежит за гранью A2S2D2, поэтому кроме стороны В2С2 невидимыми будут А2В2 и В2S2. На рис. 5.5б дано изображение проекций пирамидальной поверхности с учетом видимости всех ее элементов.

5.2.1б. Построение точки на конической и пирамидальной поверхностях

Точка принадлежит поверхности, если она лежит на образующей этой поверхности.

а). Пусть на комплексном чертеже конической поверхности S задана точка М своей фронтальной проекцией М2 (рис. 5.8). Требуется построить проекцию М1 этой точки.

На проекции S2 конической поверхности из точки S2 через заданную проекцию М2 проводим вспомогательную образующую l2′ до пересечения с проекцией направляющей m2 в точке 12.

На проекции S1 поверхности на проекции направляющей m1 по линии связи строим точку 11. Эту точку соединяем прямой линией с вершиной S1. Получаем горизонтальную проекцию l1′ вспомогательной образующей, на которой по линии связи строим искомую горизонтальную проекцию М1 точки М.

б). Пусть на пирамидальной поверхности задана точка М, причем задана ее горизонтальная проекция М1. Требуется построить фронтальную проекцию М2 этой точки.

На горизонтальной проекции пирамидальной поверхности из вершины S1 через точку М1 строим вспомогательную проекцию l1 образующей до пересечения ее со стороной основания В1С1 в точке 11 (рис. 5.9).

На фронтальной проекции поверхности строим по линии связи точку 12 на проекции В2С2 основания поверхности. Полученную точку соединяем с вершиной S2 проекцией l2 вспомогательной образующей, на которой строим недостающую проекцию М2 искомой точки. Поскольку проекция М2 лежит на невидимой грани S2B2C2 пирамидальной поверхности, то она на фронтальной проекции поверхности невидимая. Невидимые точки на поверхностях обозначаются в скобках, т. е. (М2).