Лекции по начертательной геометрии (стр. 8 )

Рис. 4.13 Рис. 4.14

На комплексном чертеже ее фронтальная проекция h2 параллельна оси проекций Х (см. рис.3.4б).

На комплексном чертеже проекции h1 и h2 горизонтали строятся следующим образом (рис.4.13):

1). На фронтальной проекции плоскости проводят проекцию h2 горизонтали параллельно оси проекций Х;

2). Строят проекции двух точек (например, 12 и 22) пересечения h2 с проекциями линий, ограничивающих плоскость;

3). По линиям связи строят горизонтальные проекции 11 и 21 точек пересечения;

4). Через 11 и 21 проводят горизонтальную проекцию h1 горизонтали.

б). Чтобы построить фронталь f плоскости, необходимо помнить, что эта прямая параллельна фронтальной плоскости проекций П2 (см. 3.1.2). На комплексном чертеже ее горизонтальная проекция f1 параллельна оси проекций Х (см. рис.3.5б).

На комплексном чертеже проекции f1 и f2 фронтали строятся следующим образом (рис.4.14):

1). На горизонтальной проекции плоскости проводят проекцию f1 фронтали параллельно оси проекций Х;

2). Строят проекции двух точек (например, 11 и 21) пересечения f1 с проекциями линий, ограничивающих плоскость;

3). По линиям связи строят фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения;

4). Через 12 и 22 проводят фронтальную проекцию f2 фронтали.

4.5. Построение точки в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости.

Чтобы построить точку в плоскости, достаточно провести произвольную прямую в плоскости, как это было выполнено в п. 4.3, и на ней построить любую точку.

Одной из задач этой темы является построение недостающей проекции точки, лежащей в плоскости.

Пусть дан комплексный чертеж плоскости Q(m êên) и точка К, заданная только одной проекцией К1, лежащая в плоскости. Необходимо построить проекцию К2 точки К (рис.4.15).

Через К1 проводим произвольную прямую d1, которая будет пересекать проекции m1 и n1 в точках 11 и 21. Согласно п. 4.3 строим фронтальные проекции 12 и 22 точек пересечения и, затем, проекцию d2 прямой d, где по линии связи из К1 строим недостающую фронтальную проекцию К2 точки К.

4.6. Построение кривой линии в плоскости

Кривая линия принадлежит плоскости, если все ее точки лежат в плоскости.

Чтобы построить на плоскости F(а êêb) недостающую проекцию m1 кривой линии m (рис.4.16а), необходимо заданную проекцию m2 линии разбить на точки (например, 1222,32,42,52), и каждую точку построить согласно п. 4.5 с помощью вспомогательных линий. Полученные точки на другой проекции соединить плавной линией (рис. 4.16б).

 

4.7. Построение прямой линии параллельно плоскости

Из школьного курса известно определение параллельности прямой и плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в плоскости.

Согласно определению, из точки М, не лежащей в плоскости L(aÇb), построим прямую l параллельно этой плоскости.

На комплексном чертеже на горизонтальной плоскости проекции П1 из точки М1 проводим прямую l1 параллельно любой стороне проекции L1 плоскости, например стороне а1 (рис. 4.17). На фронтальной плоскости проекций П2 из точки М2 проводим прямую l2 параллельно стороне а2 проекции L2 плоскости. Получается, что l1 || a1, a l2 || a2. Таким образом, прямая l параллельна прямой а плоскости, значит, l || L.

4.8. Построение плоскости параллельно другой плоскости

Из школьного курса известно классическое определение параллельности двух плоскостей.

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Покажем решение задачи на примере построения плоскости Q параллельно заданной плоскости W(А, В,С), если Q проходит через точку К.

На горизонтальной плоскости проекции комплексного чертежа из проекции К1 проведем прямую линию а1 параллельно, например, А1В1, и проведем прямую b1 параллельно, например, В1С1 (рис.4.18).

Тогда на фронтальной плоскости проекции комплексного чертежа из К2 проводим соответственно а2||А2В2 и b2||В2С2. Таким образом, две пересекающиеся прямые аÇb параллельны двум пересекающимся прямым АВ Ç ВС, следовательно, Q || W.

4.9. Построение прямой перпендикулярно плоскости

Из курса геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости.

В плоскости можно провести множество пересекающихся прямых. Однако, известно, что прямой угол проецируется на комплексном чертеже в прямой, когда одна сторона его параллельна плоскости проекций, т. е. является линией уровня (см. раздел 3, п. 3.4.4). Из множества пересекающихся прямых в плоскости только две прямые могут быть линиями уровня - это горизонталь h и фронталь f.

Таким образом, чтобы провести перпендикуляр l к плоскости Q (А, В,С) (рис.4.19), необходимо провести его перпендикулярно двум пересекающимся прямым - горизонтали h и фронтали f, т. е. на П1 проекция l1 перпендикуляра проводится под прямым углом к h1 (l1 ^ h1), а на П2 проекция l2 перпендикуляра строится перпендикулярно f2 (l2 ^ f2 ).

4.10. Примеры решения задач

Задача 4.1. Какая из заданных точек 1, 2, 3, 4, 5 принадлежит плоскости S(А, В, С)? (Рис. 4.20)

Решение. Согласно определению, точка лежит в плоскости, если она расположена на прямой, принадлежащей плоскости (см. п.4.5), следовательно, обе проекции точки должны лежать на одноименных проекциях прямых, принадлежащих плоскости.

Проекция 11 точки 1 лежит на проекции А1В1 плоскости, в то время как 12 не лежит на А2В2, тогда точка 1 не принадлежит плоскости.

Проекции 21 и 22 точки 2 лежат соответственно на проекциях А1С1 и А2С2 стороны АС плоскости S, следовательно, точка 2 Ì S.

Проекция 31 точки 3 лежит на А1С1, а ее фронтальная проекция не лежит на проекции А2С2 стороны АС плоскости, следовательно, точка 3Ë S.

Проекция 41 точки 4 лежит на В1С1, а проекция 42 лежит на А2С2, поэтому точка 4 Ë S.

Проекции 51 и 52 точки 5 лежат на прямой, которая принадлежит плоскости S, т. к. обе точки пересечения этой прямой со сторонами АС ВС плоскости S лежат на соответствующих проекциях (см. п.4.3) комплексного чертежа, т. о., точка 5 Ì S.

Ответ: из вех пяти точек только точки 2 и 5 лежат в плоскости S.

Задача 4.2. Достроить незаконченную проекцию плоской фигуры АВСD (Рис. 4.21а).

Решение. Так как четырехугольник плоский, следовательно, линии, соединяющие точки А, В, С, D четырехугольника пересекаются.

Проведем диагонали на горизонтальной плоскости проекции А1С1 и В1D1 (рис. 4.21б). Построим точку 11 их пересечения. На фронтальной плоскости проекции соединим диагональю точки А2 и С2. На А2С2 построим проекцию 12 точки пересечения диагоналей. Теперь из точки В2 проведем прямую линию В212, а из D1 проведем линию связи. На пересечении диагонали В212 с линией связи от точки D1 строится проекция D2 точки D. На фронтальной проекции все точки известны, соединяем их отрезками прямых линий, получаем фронтальную проекцию четырехугольника. Задача решена.

Задача 4.3. В плоскости Q(А, В,С) построить отрезок прямой MNÌQ, если заданы разноименные проекции M2 и N1 концов отрезка (рис. 4.22а).

Решение. Согласно п. 4.3 через N1 проведем произвольную проекцию прямой линии, например С1N111. Соответствующую линию С212 построим на фронтальной проекции, на которой по линии связи построим фронтальную проекцию N2 точки N (рис. 4.22б).

Такие же действия требуется повторить для построения проекции М1 точки М. Проведем А2М222 на фронтальной плоскости проекции, а на П1 соответственно А121, где и построим проекции. М1 точки М. Все проекции отрезка известны, осталось их соединить М1N1 и M2N2. Задача решена.