Лекции по начертательной геометрии (стр. 19 )

6.1. Введение

К позиционным задачам относятся:

- задачи на взаимное расположение геометрических объектов (ГО);

- задачи на взаимную принадлежность ГО;

- задачи на взаимное пересечение ГО.

Две первые группы задач были рассмотрены в предыдущих разделах. Это задачи на принадлежность точки или линии какой-либо плоскости или поверхности. Это задачи на определение видимости точек и линий относительно других объектов.

Теперь изучим третью группу задач. Они подразделяются на две главные позиционные задачи (ГПЗ):

- первая ГПЗ рассматривает пересечение двух ГО, когда результатом их пересечения является точка или точки. Это могут пересекаться две линии, линия и плоскость, линия и поверхность.

- результатом решения второй ГПЗ является построение линии пересечения. Это возможно, когда пересекаются две плоскости, плоскость и поверхность, пересекаются две поверхности.

Искомые точки или линии пересечения будем называть общими элементами пересекающихся объектов, поскольку они одновременно принадлежат двум ГО.

Однако, в зависимости от расположения пересекающихся объектов относительно плоскостей проекций, будем рассматривать три различных случая:

- случай первый, когда оба объекта занимают проецирующее положение;

- случай второй, когда один объект занимает проецирующее положение, второй – общее положение;

- случай третий, когда оба объекта занимают общее положение относительно плоскостей проекций.

В предыдущих разделах были рассмотрены объекты, занимающие проецирующие положения, т. е., когда они перпендикулярны одной из плоскостей проекций. При этом одна проекция объекта на комплексном чертеже изображается на размерность меньше, чем оригинал. Например, прямая (одномерный объект) проецируется в точку (нульмерный объект), плоскость или поверхность (двумерный объект) проецируется в линию (одномерный объект). Такие проекции будем называть главными проекциями проецирующих объектов (рис. 6.1).

И так, проецирующими объектами могут быть прямые линии (см. раздел 3), плоскости (см. раздел 4), цилиндрическая и призматическая поверхности (см. раздел 5). У этих поверхностей все прямолинейные образующие перпендикулярны одной из плоскостей проекций.

Рис. 6.1

На рис. 6.1 главные проекции обозначены m¢, L¢, W¢, F¢.

6.2. Первая главная позиционная задача

6.2.1. Первый случай

Рассмотрим алгоритм решения первой ГПЗ, когда оба пересекающихся объекта занимают проецирующее положение. Решение задачи сводится к построению проекций общего элемента, т. е. проекций точки или нескольких точек пересечения.

Пусть заданы два пересекающихся объекта: цилиндр вращения S(S1, S2) и прямая линия d(d1, d2) (рис.6.2а). Требуется построить проекции А1, А2 и В1, В2 точек пересечения этих объектов, т. е. А, В = S Ç d.

 

В данном примере поверхность цилиндра вращения S перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций P1 (S^P1), а прямая линия d перпендикулярна P2 (d^P2). Главными проекциями проецирующих объектов являются:

- для цилиндра вращения это проекция S1;

- для прямой линии это проекция d2.

Поскольку прямая d на плоскость проекций P2 спроецировалась в точку, а общий элемент пересечения лежит на этой прямой (А, В Ì d), следовательно проекции А2 и В2 точек пересечения принадлежат проекции d2 прямой (А2,В2Ì d2), т. е. принадлежат главной проекции проецирующего объекта (рис. 6.2б).

На горизонтальной плоскости проекций видно, что проекции S1 и d1 объектов пересекаются только в двух точках А1 и В1, которые лежат на главной проекции S1 цилиндра (А1, В1Ì S1). Задача решена. Найдены обе проекции общего элемента пересекающихся ГО.

Т. о, для решения задач первого случая на комплексном чертеже необходимо определить главные проекции проецирующих ГО, на которых обозначить проекции общего элемента.

6.2.2. Второй случай

Этот случай рассмотрим на примере решения второй ГПЗ, когда один объект проецирующий, другой занимает общее положение.

Пусть даны два пересекающихся объекта: конус вращения S (S1, S2) и прямая линия а(а1,а2) (рис. 6.3а). Построить проекции А1 и А2 точки пересечения А двух объектов А(А1,А2)= SÇа.

В данном примере конус S занимает общее положение, а прямая а – проецирующее (а ^ П1). При этом проекция а1 является главной проекцией прямой и проецируется в точку. Т. к. общий элемент (точка А) лежит на прямой а (АÌа), то и проекция А1 лежит на проекции а1 прямой, т. е. совпадает с главной проекцией проецирующего объекта (А1=а1).

Теперь зная расположение одной проекции (А1) общего элемента на проекции S1 конуса вращения, можем построить вторую проекцию А2 точки пересечения (см. раздел 5). Для этого через А1 проведем параллель m1 конуса (рис.6.3б). Построим проекцию m2 параллели на П2. Пересечение m2 и a2 дает вторую проекцию А2 общего элемента.

Таким образом, алгоритм решения задач второго случая таков:

1.  Из двух пересекающихся объектов определяют проецирующий объект;

2.  Находят главную проекцию проецирующего объекта и отмечают на ней одну проекцию общего элемента.

3.  Вторую проекцию общего элемента строят по принадлежности точки пересечения непроецирующему объекту (т. е. занимающему общее положение).

4.  Определяют видимость элементов пересекающихся объектов.

6.2.3. Третий случай

Общий случай решения первой ГПЗ

Пусть заданы два пересекающихся объекта, занимающие общее положение: произвольная поверхность S и линия l. (рис. 6.4а). Требуется построить точки А и В пересечения этих объектов. (А, В=SÇl).

Заключим линию l во вспомогательную секущую поверхность Г. В качестве вспомогательной секущей поверхности может применяться проецирующая цилиндрическая поверхность или проецирующая плоскость. Вспомогательная секущая поверхность рассечет исходную поверхность S по линии m (m=ГÇS) (рис. 6.4б). Линии l и m лежат на одной поверхности Г и пересекаются между собой в точках А и В (А, В= m Ç l).

Докажем, что А и В есть точки пересечения поверхности S и линии l, т. е. А, В=SÇ l.

1. Точки А и В лежат на линии l, как точки пересечения m и l , т. е. А, В Ì l;

2. Точки А и В лежат на линии m (как точки пересечения m и l), а линия m принадлежит поверхности S (как линия пересечения S и Г). Следовательно, точки А и В

принадлежат поверхности S, т. е. А, В ÌS.

3. Таким образом, точки А и В одновременно принадлежат двум геометрическим объектам S и l, а, значит, это точки их пересечения, т. е. А, В=SÇ l.

Рассмотрим решение задачи третьего случая на конкретном примере.

Г2

В2

S2

S1

 

Дано:S (А, В,С)- плоскость общего положения;

l – прямая линия общего положения (рис.6.5а).

Определить точку М=SÇ l.

1.  Через прямую линию l проводим вспомогательную проецирующую секущую плоскость Г. Эту плоскость можно провести перпендикулярно плоскостям проекций либо П1, либо П2.

Допустим, мы выбрали, что вспомогательная секущая плоскость Г^П2 (рис. 6.5б). Т. о, на П2 ее проекция Г2 проецируется в прямую линию (см. раздел 4), совпадающую с проекцией l2 (Г2=l2).

2.  Вспомогательная секущая плоскость Г пересекает плоскость S по прямой линии m (1-2). На П2 - это отрезок m2(12-22).

3.  Строим проекции отрезка m1(11-21). Точка 11ÌА1С1, а точка 21ÌВ1С1. Соединив 11 и 21 отрезком, получим горизонтальную проекцию m1 линии пересечения S и Г.

4.  Пересечение m1 и l1 дает проекцию М1 точки пересечения S и l.