Лекции по начертательной геометрии (стр. 20 )

5.  Вторая проекция М2 строится по линии связи, учитывая принадлежность точки М прямой линии l.

6.  Изображаем полученные объекты с учетом видимости их элементов на комплексном чертеже (см. п.2.3 раздела 2).

6.3.  Примеры решения задач

Задача 6.1 Построить общий элемент ( точку К) пересечения плоскости L^П2 и прямой линии k ^П1 (рис.6.6а).

 

Решение. Плоскость L на чертеже задана неограниченной, поэтому на фронтальную плоскость проекций она изображается в прямую линию L2, а на горизонтальную плоскость проекций в поле точек (см. п.4.2.1 раздела 2).

Главными проекциями этих объектов являются:

- для прямой k – это проекция k1;

- для плоскости L - это проекция L2.

Используя алгоритм п.6.2.1 построения общего элемента, отмечаем, что проекция К1 совпадает с главной проекцией k1 (К1= k1). Проекция К2 лежит на главной проекции L2 в точке пересечения L2 и k2 (К2=L2Ç k2). Задача решена.

Задача 6.2 Построить точки пересечения прямой общего положения d и призматической поверхности F^П1 (рис. 6.7а).

Решение. Задача относится ко второму случаю, т. к. здесь один ГО занимает проецирующее положение - это призматическая поверхность F. Ее главной проекцией является F1, на которой и расположены проекции А1, В1,С1 искомых точек пересечения (А1,В1,С1 = F1Ç d1) (рис. 6.7б).

Вторые проекции А2, В2, С2 строятся по принадлежности точек пересечения не проецирующему объекту, т. е. на проекции d2 прямой линии.

Задача 6.3 Построить точки М и N пересечения поверхности сферы Q и прямой линии b (рис. 6.8а).

b2= m2

Решение. Эта задача относится к третьему случаю, поскольку оба ГО занимают общее положение и решается по алгоритму третьего случая.

1.  Через прямую b проводим вспомогательную секущую плоскость Г. В данной задаче эту плоскость проводим перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (Г^П2, Г= b2).

2.  Секущая плоскость пересекает поверхность сферы по линии m. На П2 проекции m2, b2 лежат на проекции Г2 проецирующей плоскости и проецируются в одну прямую линию, т. е. m2 = b2 =Г2 .

3.  Для построения проекции m1 на горизонтальной плоскости проекций m2 разбиваем на произвольное количество точек. Чем больше точек будет использовано, тем точнее получится линия пересечения. В данном случае m2 разобьем на точки 12, 22, 32, 42 и построим их проекции 11, 21, 31, 41 на горизонтальной проекции сферы известными способами (см. раздел 5). Плавной линией m1 соединим полученные точки.

4.  Линии m1 и b1 пересекаются в точках М1 и N1. Это есть горизонтальные проекции точек пересечения поверхности сферы и прямой линии.

5.  Фронтальные проекции М2 и N2 строим на фронтальной проекции b2 прямой.

6.  Определяем видимость проекций b1 и b2 прямой линии.

6.3.1.  Задачи для самоконтроля

Задача1. Построить точки пересечения двух геометрических объектов.

Задача2. Построить точки пересечения двух геометрических объектов.

Задача3. Построить точки пересечения двух геометрических объектов.

6.4.  Контрольные тесты

Задание	№ вопроса	Вопрос	Ответ
	1	Определить, алгоритм какого случая применяется при решении задачи 1.	а)1 случай б) 2 случай в)3 случай
2	Определить, алгоритм какого случая применяется при решении задачи 2.	а)1 случай б) 2 случай в)3 случай
3	Определить, алгоритм какого случая применяется при решении задачи 3.	а)1 случай б) 2 случай в)3 случай
F1	4	Сколько точек пересечения образуется при пересечении поверхности F и прямой линии m.	а) одна б) две в) три
	5	Определите главную проекцию	а) Q1 б) Q2 в) а1 г) а2

6.5.  Вторая главная позиционная задача

Напомним, что вторая ГПЗ решает задачи на определение линии или нескольких линий пересечения двух геометрических объектов (ГО). Как и в первой ГПЗ, здесь рассматриваются три случая расположения пересекающихся объектов относительно плоскостей проекций:

- оба объекта проецирующие;

- один объект проецирующий, другой занимает общее положение;

- оба объекта занимают общее положение.

6.5.1. Первый случай

Как и при решении первой ГПЗ первого случая, алгоритм решения задач второй ГПЗ первого случая основан на определении главных проекций проецирующих объектов, на которых расположены проекции общего элемента.

Рассмотрим алгоритм решения задачи на конкретном примере.

3

Дано: S(S1,S2)^П1 – цилиндр вращения; L(L1, L 2) ^П2 – призма.

Определить линию m пересечения цилиндра и призмы m = S ÇL.

Решение.

1.  Определяем главные проекции проецирующих объектов. Для поверхности S главной проекцией является S1, для поверхности L главной проекцией будет L2.

2.  Так как общий элемент всегда лежит на главной проекции проецирующего объекта, то горизонтальная проекция m1 линии пересечения совпадает с S1, т. е. S1=m1.

3.  Фронтальная проекция m2 линии пересечения занимает часть главной проекции L2 (m2 ÌL2) призмы и представляет собой ломаную линию. Задача решена.

6.5.2.  Второй случай

Алгоритм построения линии пересечения двух геометрических объектов второго случая второй ГПЗ рассмотрим на примере задачи (рис. 6.10).

Пусть пересекаются поверхность кругового конуса Q с фронтально проецирующей плоскостью Г. На плоскость проекций П2 плоскость Г проецируется в прямую линию Г2, а на горизонтальной плоскости проекций П1 она не изображается, т. к. занимает все поле точек (см. раздел 4).

1.  Находим главную проекцию проецирующего объекта. Проецирующим объектом в данной задаче является плоскость Г. Ее главной проекцией будет Г2.

2.  Т. к. общий элемент лежит всегда на главной проекции, то фронтальная проекция m2 линии пересечения совпадает с проекцией Г2, т. е. m2=Г2. Эта линия располагается только в пределах проекции конуса от точки 12 до точки 42.

3.  Вторую проекцию m1 линии пересечения строим по ее принадлежности непроецирующему объекту (круговому конусу).

Для этого разобьем линию m2 на ряд точек, например 12, 22, 32, 42. Чем больше мы возьмем точек, тем точнее будет построена линия пересечения. Через указанные точки проводим параллели кругового конуса. Эти параллели строим на горизонтальной проекции. Горизонтальные проекции точек 11, 21, 31, 41 отмечаем на соответствующих параллелях.

4.  Плавной линией соединяем полученные точки. Эта линия будет горизонтальной проекцией m1 линии пересечения.

5.  В зависимости от конкретной задачи, в этом пункте следует учесть видимость проекций линии пересечения и видимость проекций пересекающихся ГО.

6.5.3. Третий случай.

Общий случай решения второй ГПЗ

Пусть заданы две пересекающиеся поверхности F и S. Следует построить линию m, как общий элемент пересечения этих ГО, т. е. m =(FÇS).

Начинать решение данной задачи надо с построения опорных точек.

Опорными называются точки, определяющие границы линии пересечения, это: самые верхние и самые нижние, самые правые и самые левые точки линии пересечения; точки, лежащие на главном меридиане и на экваторе; точки, характеризующие границы видимости.