Лекции по начертательной геометрии (стр. 14 )

5.3.1. Построение точек на поверхностях Каталана.

Пусть задана точка А, лежащая на поверхности S гиперболического параболоида (А Ì S), причем задана ее одна проекция А1.

Недостающую проекцию точки строят после того, как построены проекции поверхности.

Если проекция точки задана на плоскости проекций, где расположена плоскость параллелизма (например точка А1 на рис. 5.25а), то через точку А1 параллельно плоскости параллелизма Г1 проводим проекцию образующей, например 11-119. Затем строим фронтальную проекцию 12-129 этой образующей, на которой находится искомая проекция А2 точки А.

Если проекция точки, лежащей на поверхности, расположена на другой плоскости проекций относительно плоскости параллелизма, например точка В1 на поверхности F(m,n,П1) цилиндроида (рис. 5.25б), то выполняются следующие действия:

- через В1 проводим произвольную вспомогательную линию b(b1), которая пересекает уже построенные образующие;

- находим точки пересечения проекции b1 и горизонтальных проекций образующих поверхности F;

- строим фронтальные проекции этих точек пересечения;

- полученные точки соединяем плавной линией b2;

- на проекции вспомогательной линии b2 строим недостающую проекцию B2 точки B.

5.4. Поверхности вращения

Поверхность вращения образуется движением некоторой линии, называемой образующей d, вокруг неподвижной оси i. Если образующая и ось лежат в одной плоскости, параллельной плоскости проекции, то образующая называется главным меридианом. Любое другое положение образующей является меридианом. Каждая точка образующей вращается вокруг оси по окружности, называемой параллелью, в плоскости перпендикулярной оси вращения. Самая большая параллель называется экватором, самая малая параллель называется горлом (рис. 5.26).

Таким образом, в определитель поверхности вращения входят образующая d и ось вращения i, т. е S(d,i). Для удобства изображения ось i располагают либо перпендикулярно плоскости проекций (проецирующая ось), либо параллельно плоскости проекций (ось уровня).

5.4.1. Поверхности вращения общего вида

Поверхностями вращения общего вида называются поверхности, у которых образующая d представляет собой произвольную кривую. На рис. 5.27а изображены проекции определителя поверхности вращения S, заданной осью вращения i ^ П1 и главным меридианом d. На рис. 5.27б даны проекции определителя поверхности вращения F, заданной осью вращения i^ П1 и меридианом d. На рис. 5.27в изображены проекции определителя поверхности вращения L, заданной осью вращения i, расположенной параллельно фронтальной плоскости проекции ( i êêП2) и образующей d, являющейся главным меридианом.

 

На рис. 5.28 изображены проекции поверхностей общего вида.

 

`

Если ось вращения перпендикулярна плоскости проекций П1 или П2, то параллель m проецируется на одну плоскость проекций в виде горизонтальной прямой m ^ i, на другую – в виде окружности. Так на рис. 5.29а ось поверхности вращения перпендикулярна П1 (i ^ П1), следовательно, все параллели проецируются на П1 в виде окружностей, а на П2 – в виде прямых.

Если ось вращения является осью уровня, то параллель на одну плоскость проекций проецируется в виде прямой m перпендикулярной оси i (m ^ i), на другую – в виде эллипса. На рис.5.29б фронтальная проекция параллели m2 перпендикулярна проекции оси вращения i2, а горизонтальная проекция параллели m1 изображается в виде эллипса.

Если ось вращения перпендикулярна П3, то обе проекции поверхности вращения на П1 и П2 представляют собой одинаковые фигуры (рис. 5.29в), а параллель проецируется на эти плоскости проекций в виде прямых, перпендикулярных проекциям оси вращения, т. е. m1 ^ i1, а m2 ^ i2.

 

5.4.2. Линейчатые поверхности вращения

Линейчатые поверхности вращения образуются движением прямолинейной образующей вокруг неподвижной оси. К ним относятся:

- S(d, i) [d Ç i] - конус вращения;

- L(d, i) [d // i] - цилиндр вращения;

- Ф(d, i) [d i] - однополостной гиперболоид вращения.

5.4.2а. Конус вращения

S(d, i)

S2

Конус вращения образуется вращением образующей d вокруг оси i, когда d пересекает ось вращения в точке S- вершине конуса. На рис.5.30а изображены проекции определителя поверхности конуса вращения S, где i ^ П1, а образующая d является меридианом, т. е. находится в промежуточном положении.

а

 

Построение проекций поверхности конуса вращения, заданного таким образом, начинают с той проекции, куда ось вращения проецируется в точку. В данном случае начинаем с плоскости проекций П1. Из точки i1, как из центра, проводим окружность радиусом i111, где точка 1-самая удаленная от центра точка образующей d (рис. 5.30б). На этой окружности отмечаем точку 119, как точку, занимающую крайнее левое положение при вращении точки 1 и отмечаем точку 1199, занимающую крайнее правое положение. Полученное изображение является горизонтальной проекцией S1 поверхности S.

На фронтальной плоскости проекций П2 точке 1 соответствует проекция 12 на проекции образующей d2. Из точки 12 проводим параллель перпендикулярно проекции оси i2, на которой откладываем точку 129, соответствующую крайнему левому положению точки 1 образующей, и точку 1299, соответствующую крайнему правому положению точки 1 образующей. Соединив полученные точки с вершиной S2, получаем фронтальную проекцию S2 поверхности конуса вращения S.

Если определитель поверхности конуса вращения задан так, что ось вращения проходит, например, параллельно горизонтальной плоскости проекции (рис. 5.31а), то проекция поверхности строится следующим образом.

 

На горизонтальной проекции из крайней точки 11 проекции образующей d1 проводим параллель m1, перпендикулярно оси вращения i1 (рис.5.31б). Расстояние 11О1 является радиусом окружности основания конуса вращения (радиус параллели m). Это расстояние откладываем на проекции параллели m1 с другой стороны от точки О1. Точку 11¢ соединяем с вершиной конуса. Полученное изображение является горизонтальной проекцией F1 конуса вращения.

На фронтальную плоскость проекции окружность основания конуса проецируется в эллипс, малая ось которого равна проекции 1212¢ окружности основания, а большая ось эллипса равна диаметру окружности основания конуса. Большая и малая оси эллипса пересекаются в точке О2. Соединяем по касательной эллипс основания с вершиной конуса, получаем фронтальную проекцию F2 поверхности конуса вращения.

5.4.2б. Цилиндр вращения

Цилиндр вращения образуется вращением прямолинейной образующей d вокруг оси i, когда d проходит параллельно i. На рис. 5.32а даны проекции определителя поверхности L(i,d) [d êê i ], а на рис. 5.32б изображены проекции поверхности цилиндра вращения, когда ось вращения перпендикулярна фронтальной плоскости проекции. В данном случае поверхность считается проецирующей поверхностью и занимает фронтально - проецирующее положение, т. к. все образующие поверхности перпендикулярны плоскости проекций П2.