Лекции по начертательной геометрии (стр. 7 )

4.1. Изображение плоскостей на комплексном чертеже.

Способы задания плоскостей

В пространстве плоскости могут быть заданы:

1. Тремя точками S(А, В,С);

2. Точкой и прямой L(М, l);

3. Двумя параллельными прямыми F(m| | n);

4. Двумя пересекающимися прямыми W(а Ç b).

1. На рис. 4.1а изображены точки А, В, С, определяющие способ задания плоскости S(А, В,С). Соединив точки отрезками прямых линий, получаем ограниченную треугольником плоскость S (рис. 4.1б).

 

а б

Рис. 4.1

2. На рис. 4.2а плоскость L(М,l) задана точкой М и прямой l. Отметив на прямой l две произвольные точки, например 1 и 2, и соединив их с точкой М отрезками прямых линий, получим ограниченную треугольником плоскость L (рис.4.2б).

а б

Рис. 4.2

3. На рис. 4.3а плоскость F(m || n) задана двумя параллельными прямыми m и n. Эти прямые можно продлевать на любую длину. Чтобы как-то ограничить размеры плоскости, обычно параллельные прямые соединяют с двух сторон волнистыми линиями обрыва (рис. 4.3б), а при необходимости – отрезками прямых линий (рис. 4.3в).

 

а б в

Рис. 4.3

4. Плоскость W(a Ç b) задана двумя пересекающимися прямыми а и b (рис. 4.4а). Чтобы ограничить размеры плоскости, прямые а и b соединяют волнистой линией обрыва (рис. 4.4б), либо отрезком прямой линии (рис. 4.4в).

 

а б в

Рис. 4.4

4.2. Плоскости частного и общего положения

Относительно плоскостей проекций П1, П2, П3 плоскости могут располагаться следующим образом:

1.  Перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Такие плоскости называются проецирующими;

2.  Параллельно одной из плоскостей проекций. Такие плоскости называются плоскостями уровня;

3.  Плоскости могут быть не параллельны и не перпендикулярны плоскостям проекций. Такие плоскости называются плоскостями общего положения.

4.2.1. Проецирующие плоскости

а) Плоскость перпендикулярная плоскости проекций П1 называется горизонтально - проецирующей плоскостью.

На рис. 4.5а дано наглядное изображение плоскости Q ^ П1, заданной тремя точками А, В,С. На горизонтальную плоскость проекций плоскость Q проецируется в прямую линию.

На рис. 4.5б представлен комплексный чертеж горизонтально – проецирующей плоскости Q(А, В,С) ^ П1.

 

а б

Рис. 4.5

Однако плоскость может быть не ограниченной (рис. 4.6а). В этом случае ее горизонтальная проекция также представляет прямую, а фронтальная проекция занимает все поле точек плоскости П2, поэтому на комплексном чертеже фронтальную проекцию не изображают. Комплексный чертеж горизонтально – проецирующей плоскости не ограниченной изображен на рис. 4.6б.

 

а б

Рис. 4.6

б). Плоскость перпендикулярная плоскости проекций П2 называется фронтально – проецирующей плоскостью.

На рис 4.7а дано наглядное изображение плоскости F^П2, заданной двумя пересекающимися прямыми а и b - F(а Çb). Фронтальная проекция этой плоскости F2 представляет собой прямую линию.

 

а б в

Рис.4.7

Комплексный чертеж фронтально – проецирующей плоскости F^П2 изображен на рис. 4.7б. Для не ограниченной плоскости F^П2 комплексный чертеж будет состоять из одной фронтальной проекции (рис.4.7в).

4.2.2. Плоскости уровня

а). Плоскость параллельная плоскости проекций П1 называется горизонтальной плоскостью уровня.

На рис.4.8а дано наглядное изображение плоскости L êêП1, заданной двумя параллельными прямыми m и n - L( m êê n).

 

а б в

Рис. 4.8

На фронтальную плоскость проекций плоскость L êêП1 проецируется в виде прямой линии параллельной оси проекций Х, а горизонтальная проекция этой плоскости L1 изображается в натуральную величину, т. е. L1=L.

Комплексный чертеж горизонтальной плоскости уровня представлен на рис. 4.8б, а комплексный чертеж не ограниченной плоскости уровня изображен в виде одной проекции на рис. 4.8в.

б). Плоскость параллельная плоскости проекций П2 называется фронтальной плоскостью уровня.

На рис.4.9а дано наглядное изображение плоскости W êêП2 , заданной тремя точками W(А, В,С).

а б в

Рис.4.9

B1

На горизонтальную плоскость проекций плоскость W проецируется в виде прямой линии параллельной оси проекций Х, а фронтальная проекция W2 этой плоскости изображается в натуральную величину, т. е W2 =W. Комплексный чертеж плоскости W êêП2 изображен на рис. 4.9б, а комплексный чертеж не ограниченной плоскости уровня дан на рис. 4.9в.

4.2.3. Плоскости общего положения

C1

Отличие плоскостей общего положения от проецирующих плоскостей и плоскостей уровня при изображении на комплексном чертеже состоит в том, что ни одна из плоскостей общего положения не вырождается в прямую линию на какой-либо плоскости проекций. Обе проекции плоскости общего положения изображаются в виде ограниченных плоских фигур. На рис. 4.10а, 4.10б, 4.10в даны комплексные чертежи плоскостей общего положения заданных соответственно: тремя точками S(А, В,С), двумя параллельными прямыми F(m||n), двумя пересекающимися прямыми L(аÇ b).

 

а б в

Рис. 4.10

4.3. Построение прямой линии в плоскости

Одной из основных задач, решаемых на плоскости, относят задачу на проведение любой прямой в плоскости. В этом случае возможны два варианта:

а). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

б). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в плоскости;

а). Чтобы провести прямую в плоскости, достаточно взять две точки на разных прямых линиях, ограничивающих плоскость, и через них провести данную прямую.

Пусть на комплексном чертеже (рис.4.11) задана плоскость å двумя параллельными прямыми m и n, соответственно ее проекции будут å1(m1 êên1) и å2(m2 êên2). Произвольно на прямой m возьмем точку 1, а на прямой n – точку 2 и отметим их проекции (11 Ì m1, 12 Ì m2, 21 Ì n1, 22 Ì n2). Через одноименные проекции точек проведем проекции l1 и l2 прямой l. Построенная прямая линия лежит в плоскости å, т. к.проходит через две точки, лежащие в плоскости (рис. 4.11).

б).Чтобы провести прямую в плоскости через одну точку параллельно прямой, лежащей в плоскости, воспользуемся плоскостью F, заданной двумя пересекающимися прямыми а и b, т. е. F(a∩b). На одной из прямых плоскости, например а, возьмем точку А и через нее проведем прямую d параллельно прямой b.

На комплексном чертеже (рис.4.12) эта задача решается следующим образом. На проекциях а1 и а2 прямой а произвольно отмечаем проекции А1 и А2 точки А. Через проекции точек проводим проекции d1 параллельно b1 (d1 êê b1) и d2 –параллельно b2 (d2 êê b2) прямой d. Прямая d принадлежит плоскости F.

4.4. Особые линии в плоскости

К особым линиям в плоскости относятся горизонталь h и фронталь f плоскости. Горизонталь и фронталь плоскости строится одним из способов, описанных в п.4.3.

а). Чтобы построить горизонталь h плоскости, необходимо помнить, что эта прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций П1 (см. 3.1.2).