Лекции по начертательной геометрии (стр. 21 )

Между известными опорными точками (например, А и D) вводим вспомогательную секущую поверхность L (рис. 6.11). В качестве вспомогательных секущих поверхностей могут применяться: вспомогательные проецирующие плоскости, вспомогательные плоскости уровня, вспомогательные поверхности сфер. В данном примере обозначим вспомогательную секущую поверхность L1.

Эта секущая поверхность пересекает поверхность F по линии а1.

(а1 = FÇL1) (1)

В то же время секущая плоскость L1 пересекает поверхность S по линии b1.

(b1 =S Ç L1). (2)

Обе линии а1 и b1 пересекаются между собой в точке В.

(В= а1Ç b1). (3)

Докажем, что точка В является одной из точек общего элемента.

а). Точка В лежит на линии а1 ( из 3), а а1принадлежит поверхности F (из 1), следовательно, точка В принадлежит F (ВÌF);

б). Точка В лежит на линии b1 (из 3), а b1 принадлежит поверхности S (из 2), следовательно, точка В принадлежит поверхности S (В ÌS);

в). Таким образом, точка В одновременно принадлежит двум различным поверхностям F и S, следовательно, это их общий элемент, т. е. В= FÇS.

Используя достаточное количество вспомогательных секущих поверхностей L1,L2,L3 …, получим большое количество точек В, С,… Чем больше точек будет построено, тем точнее получится линия пересечения.

Рассмотрим некоторые способы построения линии пересечения.

6.5.4. Метод вспомогательных проецирующих плоскостей

Этот метод применяется при пересечении двух плоскостей общего положения, плоскости общего положения и гранной поверхности или двух гранных поверхностей и решается с использованием алгоритма первой ГПЗ третьего случая.

Пусть заданы две плоскости общего положения F (А, В,С) и S (D, E,F). Требуется построить линию m пересечения этих плоскостей (рис. 6.12).

Чтобы построить линию пересечения плоскостей F и S, достаточно построить точки пересечения прямых DE и DF с плоскостью F, а затем полученные точки соединить прямой линией m. Поскольку прямые DE, DF и плоскость F занимают общее положение, то для определения точек их пересечения необходимо использовать алгоритм первой ГПЗ третьего случая.

Проведем через DE фронтально проецирующую плоскость Г. На комплексном чертеже плоскость Г проецируется на П2 в прямую линию Г21 и совпадает с проекцией D2E2. Плоскость Г пересекает плоскость F по прямой линии 1-2 (на П2 это 12-22, на П1 это 11-21). Там, где 11-21 пересекает D1E1 лежит проекция М1 точки пересечения прямой DE и плоскости F. Вторую проекцию М2 строим на проекции прямой D2E2.

Таким же образом построим проекции N1 и N2 точки пересечения прямой линии DF и плоскости F. Соединим полученные точки прямой линией MN. Линия пересечения плоскостей m ( m1, m2) лежит на этой прямой, однако она занимает лишь часть этой линии (см. рис. 6.12).

Теперь остается определить видимость элементов пересекающихся плоскостей с помощью конкурирующих точек (см. разделы 2 и 5).

6.5.5. Метод вспомогательных секущих плоскостей уровня

Этот метод применяется при определении линии пересечения двух поверхностей вращения общего положения, оси которых параллельны.

 

Раздел 7

7.1. Метрические задачи

К метрическим задачам относятся задачи начертательной геометрии, в которых находятся углы и расстояния.

7.1.1. Определение натуральной величины отрезка

Натуральную (истинную) величину отрезка прямой общего положения можно найти методом прямоугольного треугольника:

натуральная (истинная) величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция данного отрезка, а другим - разность расстояний концов отрезка до плоскости проекций (рис.7.1, 7.2).

Рис. 7.1. Метод прямоугольного треугольника

Угол между натуральной величиной и проекцией является углом наклона отрезка к соответствующей плоскости проекций.

Рис. 7.2. Определение натуральной величины отрезка и углов наклона его

к плоскостям проекций

7.1.2. Ортогональные проекции плоских углов

Для того чтобы плоский угол на некоторую плоскость проекций проецировался в истинную величину, необходимо и достаточно, чтобы обе его стороны были параллельны плоскости проекций, то есть, чтобы плоскость угла была параллельна данной плоскости проекций (рис 30).

Для того чтобы прямой угол на плоскость проекций проецировался в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы лишь одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

Задача1. Провести прямую a, проходящую через точку M и пересекающую h под прямым углом

(рис.7.4).

X

М1

Рис. 7.4. Построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданной прямой

7.1.3. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым этой плоскости. Если в качестве таких прямых выбрать фронталь и горизонталь, то условие перпендикулярности прямой и плоскости для комплексного чертежа формулируется следующим образом: фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная проекция - горизонтальной проекции горизонтали (рис.7.5).

7.1.4. Перпендикулярность двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

На рис. 7.6.6 показано построение плоскости Г(m, n),перпендикулярной данной плоскости Ф(A, B,C) и проходящей через точку Е.

3.7. Контрольные тесты

Задание	№ вопроса	Вопрос	Ответ
	1	Какая из заданных прямых линий является фронталью?	1) АВ 2) СD 3) нет такой a b
2	Какой угол правильно определен на проекциях?
	3	Какая из проекций определяет натуральную величину отрезка?	1) A1B1 2) A2B2 3) C1D1 4) C2D2
l2   l1	4	Укажите натуральную величину угла наклона прямой l к плоскости проекций П2.	1) a 2) b 3) w 4) d
В1	5	Угол b является углом наклона к П2, или к П1?	1) П1 2) П2, 3) П1 4)П2 1)  В2 В2   2)  В1 В1 3)  В2 В2   4)  В1 В1
6	Угол a является углом наклона к П2, или к П1?
7	Какая из проекции является превышением АВ над П2?
8	Какая из проекции является превышением АВ над П1?