Лекции по начертательной геометрии (стр. 9 )

Задача 4.4. Заданы точка А и прямая l (рис. 4.23а). Через точку А построить плоскость S, если S|| l и S^ П1.

 

Решение. Так как плоскость S перпендикулярна плоскости проекций П1, то это горизонтально - проецирующая плоскость. Согласно п.4.2.1а эта плоскость проецируется на П1 в виде прямой линии (см. рис. 4.5б). Такие плоскости можно задать в виде неограниченной плоскости только одной горизонтальной проекцией S 1(см. рис. 4.6б). Т. к. плоскость S параллельна прямой l, то на комплексном чертеже проекция S1 и проекция l1 изображаются параллельно (рис. 4.23б), в то же время S проходит через точку А, согласно условию задачи.

Задача 4.5. Через точку В(30,20,10) построить фронтально - проецирующую плоскость Г, наклоненную к плоскости П1 под углом 30°.

Решение. Вначале строим комплексный чертеж точки В по заданным координатам, как было изложено в разделе 2. Поскольку способ задания плоскости Г в задаче не указан, будем считать, что это неограниченная фронтально-проецирующая плоскость. Согласно п. 4.2.1б и рис. 4.7б известно, что комплексный чертеж такой плоскости состоит только из фронтальной проекции Г2, которая представляет собой прямую линию. Т. к. плоскость Г наклонена под углом 30° к П1, следовательно проекция Г2 будет проходить через проекцию В2 точки В под углом 30° к оси проекций Х (рис. 4.24). Горизонтальная проекция этого комплексного чертежа будет состоять только из проекции В1 точки В.

Задача 4.6. В плоскости W(А, В,С) построить горизонталь h, проходящую через точку А плоскости и фронталь f, проходящую через точку С этой плоскости (h ÉA, f ÉC) (рис.4.25а).

 

`

Решение. Начнем решение задачи с построения комплексного чертежа горизонтали h. Из п.3.1.2а известно, что фронтальная проекция горизонтали h2 параллельна оси проекций Х (см. рис. 3.4б). Поэтому, на фронтальной плоскости проекции из А2 (согласно условию задачи) проводим фронтальную проекцию h2 горизонтали параллельно оси Х (рис. 4.25 б).Для проведения горизонтальной проекции h1 горизонтали, необходимо, чтобы она проходила через две точки, а в наличии только одна точка - А1.

Такая же ситуация при построении фронтальной проекции f2 фронтали. Если f1 построить просто, т. к. она проходит через С1 (согласно условию задачи) параллельно оси проекций Х (см. 3.1.2б и рис. 3.5б), то для построения f2 недостаточно параметров.

Однако известно, что все горизонтали одной плоскости параллельны между собой, то же самое можно сказать и о фронталях. Поэтому построим вспомогательные проекции h19, h29горизонтали и вспомогательные проекции f19, f29 фронтали, как было изложено в п.4.4. Теперь параллельно h19 проводим из А1 проекцию h1 горизонтали, т. е. h1 || h19, а из С2 проводим f2 параллельно f29, т. е. f2 || f29. Задача решена (рис. 4.25б).

Задача 4.7. В плоскости S ^ П2 построить горизонталь h и фронталь f (рис.4.26а).

Решение. На комплексном чертеже (рис. 4.26а) задана фронтально - проецирующая плоскость S своей фронтальной проекцией S2. Горизонтальная проекция этой плоскости занимает все поле плоскости проекций П1, поэтому не изображается (см. п. 4.2.1б и рис. 4.7в).

Чтобы лучше представить последовательность решения, воспользуемся наглядным изображением поставленной задачи (рис. 4.26б). Начнем с построения горизонтали h. Горизонталь должна лежать в плоскости S и быть параллельна плоскости проекций П1. Такое возможно только в том случае,

 

если h займет положение перпендикулярно плоскости проекций П2. Во всех других положениях горизонталь не параллельна П1. Тогда на комплексном чертеже (рис. 4.26в) проекция h2 горизонтали представляет точку, лежащую на проекции S2 плоскости, а на П1 проекция h1 изображается в виде прямой перпендикулярной оси проекций Х.

Фронталь f лежит в плоскости S параллельно П2 (рис. 4.26б), и на комплексном чертеже горизонтальная проекция f1 изображается в виде прямой параллельной оси проекций Х. Фронтальная проекция f2 полностью совпадает с проекцией S2, т. е. f2º S2 (рис.4.26в).

Задача 4.8. Определить расположение прямой t по отношению к плоскости Q(а || b) (рис. 4.27а).

Решение. В этой задаче необходимо проверить два варианта:

а) принадлежит ли прямая t плоскости Q;

б) проходит ли прямая t параллельно плоскости Q.

Рассмотрим первый вариант. Продлим проекцию t1 прямой t до пересечения со сторонами а1 и b1 проекции Q1 плоскости (рис. 4.27б). Получаем точки пересечения 11 и 21. По линиям связи строим фронтальные

проекции 12 и 22 точек пересечения. Продлеваем проекцию t2. Если она проходит через точки 12 и 22, то прямая t лежит в плоскости Q. В нашей задаче t2 не проходит через 12 и 22, следовательно, t Ë Q.

Рассмотрим второй вариант. Поскольку t Ë Q (из первого варианта), то t1 и линия 1121 параллельны. Построим линию 1222 на фронтальной плоскости проекций. Если t2 параллельна 1222, то прямая t параллельна Q, т. е. t || Q, т. к. прямая t параллельна прямой 1-2, принадлежащей плоскости Q (см. п. 4.7).В данной задаче это условие не выполняется, следовательно, t не параллельна Q.

Задача 4.9. Через точку К провести прямую d параллельно горизонтали плоскости F (m Ç n) (рис. 4. 28а).

 

Решение. Поскольку прямую d следует провести параллельно горизонтали плоскости F, значит надо построить горизонталь в этой плоскости. На комплексном чертеже (рис. 4.28б) строим проекции h1 и h2 горизонтали (см. п. 4.4а). Согласно п. 4.7 проекции d1 и d2 прямой d следует провести через точку К параллельно одноименным проекциям горизонтали h1 и h2, т. е. d1|| h1, d2 || h2.

Задача 4.10. Через точку А провести прямую k параллельно плоскости Г ^ П2 и пересекающую прямую l (рис. 4.29а).

 

Решение. Поскольку прямая k должна быть параллельна Г, следовательно построение этой прямой необходимо начинать с фронтальной проекции, где из А2 параллельно Г2 проводится проекция k2 до пересечения с прямой l2. Полученную точку пересечения строим на l1 горизонтальной плоскости проекций и соединяем ее с А1 прямой линией k1. Задача решена (рис. 4.29б).

l2

Задача 4.11. Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости Q(А, В,С) (рис. 4.30а).

 

Решение. Чтобы построить перпендикуляр к плоскости, надо провести в ней горизонталь h и фронталь f.

На плоскости проекций П1 проведем из точки А1 проекцию перпендикуляра l1 под прямым углом к проекции горизонтали h1 (h1 ^ l1).

На плоскости проекций П2 проведем из точки А2 проекцию перпендикуляра l2 под прямым углом к проекции фронтали f2 (f2 ^ l2).

Таким образом, прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым горизонтали h и фронтали f, следовательно, прямая l перпендикулярна плоскости Q.