Лекции по начертательной геометрии (стр. 2 )

1.1.2б. Свойства параллельного проецирования

1.  На рис.1.3 дано изображение всех свойств центрального проецирования, поскольку они справедливы и для параллельного проецирования.

2. Проекции параллельных прямых тоже параллельны. На рис. 1.4 прямые m и n параллельные в пространстве проецируются в параллельные прямые m9 и n9, т. е. если m || n, то и m9 || n9.

Рис.1.4

3. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется в такую же фигуру. На рис. 1.4 фигура АВС и ее проекция А9В9С9 идентичны, т. е. если АВС || П9, то АВС = А9В9С9.

1.1.2в. Ортогональное проецирование

Если проецирующие лучи S направить перпендикулярно плоскости проекций П9, то параллельное проецирование будет представлять собой ортогональное (перпендикулярное) проецирование. В этом случае в аппарат ортогонального проецирования входит только плоскость проекций П9.

Ортогональное проецирование имеет ряд преимуществ перед центральным и параллельным проецированием. К ним относятся простота геометрических построений и сохранение на проекциях формы и размеров проецируемого объекта. Это обеспечило применение ортогонального проецирования для разработки чертежей во всех отраслях машиностроения и в строительстве.

1.1.3.  Свойства ортогонального проецирования

1. В ортогональном проецировании справедливы все свойства центрального и параллельного проецирования.

На рис. 1.5 показано проецирование некоторых объектов и их ортогональные проекции, свойства которых идентичны свойствам центрального и параллельного проецировании.

 

Рис. 1.5 Рис. 1.6

2. Прямой угол проецируется в прямой, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций.

На рис. 1.6 сторона а прямого угла а Ù b параллельна плоскости проекций П9 , сторона b расположена к П9 под произвольным углом. В этом случае проекция а9 Ù b9 будет также равна 90°, то есть, если а Ù b = 90° и а || П9 , то а9 Ù b9=90°.

1.1.4. Контрольные тесты

№ вопроса	Вопрос	Ответ
1	Можно ли по центральной проекции прямой линии определить ее натуральную величину?	1. Да 2. Нет 3. Можно, если прямая параллельна плоскости проекций.
2	Можно ли по ортогональной проекции прямой линии определить ее натуральную величину?
3	При каком методе проецирования две параллельные прямые не могут одновременно проецироваться в две точки?	1.  при центральном 2.  при параллельном 3.  при ортогональном
4	При каком методе проецирования длина проекции прямой линии не может быть больше оригинала?	1. при центральном 2. при параллельном 3. при ортогональном
5	Когда ортогональная проекция прямого угла не будет равна 90°?	1.  когда обе стороны не параллельны плоскости проекций 2.  когда одна сторона не параллельна, а вторая параллельна плоскости проекций 3.  Когда обе стороны параллельны плоскости проекций

Раздел 2

2.1. Образование комплексного чертежа

Иногда изображения объекта на одну плоскость проекций бывает недостаточно. Чтобы определить форму и размеры объекта, необходимо его спроецировать на две или более плоскости проекций. Рассмотрим принцип изображения объекта на плоскости проекций методом ортогонального проецирования. Поскольку этот метод наиболее удобен для построения чертежей, то в дальнейшем будем рассматривать способы изображения объектов пространства только методом ортогонального проецирования.

В качестве объекта возьмем точку. Пусть даны три взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1, П2, П3 и объект в пространстве - точка А (рис. 2.1а).

 

Рис. 2.1а Рис.2.1б

Назовем плоскости:

П1- горизонтальная плоскость проекций;

П2- фронтальная плоскость проекций;

П3 –профильная плоскость проекций.

Линии пересечения плоскостей называются осями проекций. Так ось Х образуется пересечением плоскостей П1 и П2, ось Y - пересечением плоскостей П1 и П3, ось Z - пересечением плоскостей П2 и П3.

Спроецируем точку А с помощью проецирующих лучей, которые перпендикулярны плоскостям проекций, на все три плоскости П1,П2,П3 (рис. 2.1б). Получим изображения точки А на плоскостях проекций, где

А1- горизонтальная проекция точки А;

А2- фронтальная проекция точки А;

А3 – профильная проекция точки А.

На рис.2.1в представлено наглядное изображение всех трех проекций точки на плоскостях П1, П2, П3.

Как видно из рисунка расстояние от точки А1 до оси Х равно расстоянию от точки А3 до оси Z, а расстояние от точки А2 до оси Х равно расстоянию от А3 до оси Y.

2.2. Комплексный чертеж точки

Теперь на основании изображения рис 2.1в сформируем чертеж объекта (в данном случае точки А). Для этого разрежем систему плоскостей вдоль оси проекций Y между плоскостями проекций П1 и П3 (рис. 2.1г) и развернем плоскость П1 вокруг оси Х, а плоскость П3 вокруг оси Z до положения плоскости проекций П2. В результате все изображения объекта будут располагаться в одной плоскости. Полученная система называется трехкартинным комплексным чертежом точки А (рис. 2.1д).

 

Рис. 2.1г Рис. 2.1д

Линии А1А2, А2А3 называются линиями связи. Они всегда перпендикулярны осям проекций, либо оси Х, либо оси Z и служат для того, чтобы показать проекционную связь между проекциями объекта.

В дальнейшем прямоугольники, ограничивающие плоскости проекций, а также их буквенное обозначение, на комплексном чертеже изображать и обозначать не будем. Однако линии связи для удобства иногда необходимо использовать.

На рис. 2.2а показан трехкартинный комплексный чертеж точки А, где убраны лишние обозначения. В большинстве случаев для определения формы и размеров объекта достаточно изображений на две плоскости проекций, а именно на П1 и П2. На рис 2.2б представлен двухкартинный комплексный чертеж точки А.

 

Рис 2.2а Рис. 2.2б

2.3. Видимость точек на комплексном чертеже

При решении задач возникают ситуации, когда проекции двух точек на одну плоскость проекций совпадают. В то же время необходимо знать, какая же из проекций точки ближе к наблюдателю, то есть видимая. Потребность в этом возникнет, когда будут решаться задачи на взаимное пересечение объектов.

Точки, проекции которых совпадают на одной из плоскостей проекций, называются конкурирующими точками. Если проекции точек совпадают на П1, то точки называются горизонтально конкурирующие, если точки проецируются в одну точку на П2, то они называются фронтально конкурирующими точками.

На рис. 2.3а представлен комплексный чертеж двух точек А и В, горизонтальные проекции которых совпадают, т. е. А1ºВ1.

 

D1

Рис. 2.3а Рис. 2.3б

Из двух горизонтально конкурирующих точек А и В видимой будет та, фронтальная проекция которой выше. Так как В2 выше, чем А2, следовательно точка В ближе к наблюдателю, значит видимая, соответственно и проекция В1 также видимая.

На рис. 2.3б дан комплексный чертеж точек C и D, фронтальные проекции которых совпали, т. е. C2ºD2.

Из двух фронтально конкурирующих точек C и D видимой будет та, горизонтальная проекция которой ниже. Так как D1 ниже, чем C1, то точка D в данном случае ближе к наблюдателю, значит видимая. Соответственно и проекция D2 видимая.

2.4. Примеры решения задач

Задача 2.1 Построить трехкартинный комплексный чертеж точки М по заданным координатам : М(20, 15, 25).

Решение. Построить трехкартинный комплексный чертеж точки М, значит построить проекции М1, М2, и М3 этой точки. Построим систему координат из трех плоскостей проекций, как показано на рис. 2.2а. На осях координат выполним координатную разметку в миллиметрах. Числа 20, 15, 25 в задании соответствуют координатам X, Y, Z точки М, т. е. ХМ=20, YM=15, ZM=25мм. Обычно студенты решают подобные задачи в тетрадях в клетку, где каждая клетка соответствует расстоянию в 5мм.

Чтобы построить проекцию М1 надо знать координаты ХМ и YM точки М, которая строится в плоскости проекций П1. Откладываем по оси Х координату ХМ=20. Из полученной точки параллельно оси Y откладываем координату YM=15. В данном месте обозначаем точку М1 (рис. 2.4).