Лекции по начертательной геометрии (стр. 12 )

5.2.1в. Построение линии на конической и пирамидальной поверхностях

Чтобы построить недостающую проекцию линии, принадлежащей поверхности, необходимо эту линию разбить на точки. Чем больше точек, тем точнее строится линия. После чего каждую точку строят на другой проекции поверхности по методике п. 5.2.2.г данного раздела.

На рис. 5.10а и 5.10б заданы горизонтальные проекции f1 и h1 линий f и h, принадлежащих соответственно конической и пирамидальной поверхностям. Следует построить их фронтальные проекции f2 и h2.

Каждую линию разобьем на точки, например, 1, 2, 3. На горизонтальной проекции поверхности это 11, 21, 31. Через проекции точек и вершину S1 конической или пирамидальной поверхности проведем вспомогательные образующие до пересечения с направляющей m1. Затем строим фронтальные проекции вспомогательных образующих как изложено в п. 5.2.1б, на которых по линиям связи строим фронтальные проекции 12, 22, 32 искомых точек. На конической поверхности полученные точки соединяем плавной линией f2, на пирамидальной поверхности – ломаной линией h2.

 

5.2.2. Цилиндрическая и призматическая поверхности

Цилиндрическая и призматическая поверхности образуются движением прямолинейной образующей l, которая пересекает направляющую m, оставаясь при движении параллельно самой себе.

Если направляющая m – кривая линия, поверхность называется цилиндрической. Если направляющая m – ломаная линия, поверхность называется призматической.

Таким образом, в определитель цилиндрической и призматической поверхностей Λ входят направляющая m и направление образующей l, т. е. Λ(m,l). Закон образования поверхностей говорит, что при движении образующая l пересекает направляющую m и движется параллельно самой себе, т. е. [ l Ç m, l êê l ].

На рис. 5.11а заданы проекции определителя Λ(m,l) цилиндрической поверхности, а на рис. 5.11б заданы проекции определителя Λ(m,l) призматической поверхности.

 

а). Для построения проекций цилиндрической поверхности дополним элементы определителя образующими. На горизонтальной проекции L1 цилиндрической поверхности проекции дополнительных образующих проводятся параллельно проекции l1, а на фронтальной проекции L2 все проекции образующих проводятся параллельно проекции l2 (рис. 5.12а).

 

В начале проводят образующие линии обрыва, которые проходят через крайние точки направляющей m. На проекциях поверхности это l1, l2 и l11 , l21. Далее строят проекции линий контура. На проекции L1 линия контура одна – это l12. На проекции L2 поверхности линий контура две - это l23 и l24.

б). Чтобы построить проекции призматической поверхности, необходимо на комплексном чертеже из каждой вершины ломаной направляющей m провести образующие параллельно проекциям исходной образующей l, на горизонтальной плоскости проекций – параллельно l1, на фронтальной плоскости проекций параллельно l2 (рис. 5.12б).

5.2.2а. Построение линий обрыва на цилиндрической и призматической поверхностях

После того, как проведены образующие поверхностей, необходимо ограничить размеры поверхности линиями обрыва. Обычно поверхность отсекают проецирующей плоскостью. На рис.5.13 цилиндрическая поверхность отсечена горизонтально – проецирующей плоскостью, на рис. 5.14 призматическая поверхность отсечена фронтально – проецирующей плоскостью. В результате на одной проекции поверхности линия обрыва проецируется в виде прямой линии (см. п. 3.2 раздела 3), а на другой проекции поверхности она представляет либо кривую линию (у цилиндрической поверхности), либо ломаную линию (у призматической поверхности).

а). Чтобы построить линию обрыва на цилиндрической поверхности, требуется провести ряд вспомогательных образующих. Чем больше образующих, тем точнее кривая линии обрыва.

На проекциях поверхности L1 и L2 это проекции образующих l1, l2, l11, l21, проходящих через крайние точки направляющей линии, l12, l22- это проекции горизонтальной линии контура, l13, l23, l14, l24 – это проекции фронтальных линий контура, l15, l25- проекции промежуточной образующей (рис. 5.13).

Ограничим проекцию поверхности L1 плоской проекцией линии обрыва n1. Проекции точек пересечения всех образующих с линией обрыва обозначим 11, 21, 31, 41, 51, а фронтальные проекции этих точек, которые строятся по линиям связи на соответствующих проекциях вспомогательных образующих,

обозначим 12, 22, 32, 42, 52. Полученные точки последовательно соединяем плавной кривой n2 – фронтальной проекцией линии обрыва.

б). Чтобы построить линию обрыва на призматической поверхности, ограничим проекцию поверхности L2 плоской ломаной линией, которая проецируется в прямую линию n2 (рис. 5.14). Обозначим полученные концы ребер последовательно цифрами 12, 22, 32, 42. На L1 построим горизонтальные проекции 11, 21, 31, 41 этих точек, принадлежащих соответствующим проекциям ребер призматической поверхности. Для удобства работы каждую вершину направляющей ломаной линии m обозначим буквами A, B, C, D.

Соединив последовательно точки, получаем горизонтальную проекцию n1 линии обрыва.

5.2.2б. Определение видимости на цилиндрической и призматической поверхностях

Видимость элементов поверхностей на комплексном чертеже определяется отдельно для горизонтальной и для фронтальной проекций поверхностей с помощью конкурирующих точек.

а). Рассмотрим видимость элементов цилиндрической поверхности.

На рис. 5.15а проблемные участки поверхности заштрихованы, т. е. они могут быть видимыми (находиться ближе к наблюдателю), либо невидимыми, т. е. скрыты за телом проекции поверхности.

Определим видимость проблемного элемента на горизонтальной проекции поверхности L1. Продлим проекции образующей l12 до встречи с проекцией направляющей m1. Отметим две горизонтально – конкурирующие точки 11 и 21, т. е. 11 º 21. Пусть точка 1 принадлежит образующей l2, а точка 2 – направляющей m.

Построим проекции 12 и 22 соответственно на l22 и m2 на фронтальной проекции L2 поверхности. Так как проекция 12 выше, чем 22, следовательно, проекция образующей l12 на L1 видимая, т. е. весь заштрихованный участок изображается видимым.

На фронтальной проекции поверхности L2 проблемных участков два с конкурирующими точками 32 º 42 и 52 º 62. Т. к. проекция 41 ниже, чем 31, а точка 4 лежит на образующей l2, следовательно, ее фронтальная проекция l22 видимая. Для точек 5 и 6 горизонтальная проекция 51 ниже 61, а т. к. точка

5 Ì l, то l2 видимая. Таким образом, оба проблемных участка на фронтальной проекции видимые.

 

б). На рис. 5.15б решена задача определения видимости для призматической поверхности.

На горизонтальной проекции определим видимость стороны основания СВ и ребра А. Горизонтально – конкурирующими точками будут точки 1 и 2. Пусть точка 1 принадлежит СВ, точка 2 - ребру А. Поскольку проекция 22 выше, чем проекция 11, следовательно, видимой на П1 будет ребро А1, а сторона С1В1 будет частично скрыта за гранью А1В1.