Лекции по начертательной геометрии (стр. 4 )

На рис. 3.5а показано наглядное изображение фронтали относительно плоскостей проекций П1 и П2, а на рис. 3.5б дан комплексный чертеж этой прямой. Как видно из рис. 3.5а, фронтальная проекция f2 равна длине фронтали f, т. е. | f2 | =f, а проекция f1 представляет собой прямую параллельную оси проекций Х. Угол b - это угол наклона фронтали к плоскости проекций П1.

в). Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной прямой уровня (р êêП3).

На рис. 3.6а показано наглядное изображение прямой р относительно плоскостей проекций П1, П2 и П3, на рис. 3.6.б дан трехкартинный комплексный чертеж, а на рис.3.6в – двухкартинный комплексный чертеж прямой р êêП3. При этом | р3 | =р (см. рис. 3.6а).

в

 

а

б

3.1.3. Прямые общего положения

На рис. 3.7а и рис. 3.7б даны варианты комплексного чертежа прямых a и b общего положения.

Как же можно определить по комплексному чертежу, какая прямая задана? Если на комплексном чертеже на одной из плоскостей проекций прямая проецируется в точку, то это проецирующая прямая. Если на какой-либо плоскости проекций прямая проецируется параллельно оси проекций, то это прямая уровня (не надо путать с профильно-проецирующей прямой на рис.3.3в). Если нет таких признаков, то это прямая общего положения.

3.2. Изображение кривой линии на комплексном чертеже

Кривая линия на комплексном чертеже изображается своими проекциями. На рис. 3.8а проекции а1 и а2 кривой линии а являются кривыми линиями.

На рис. 3.8б кривая линия b спроецировалась на П2 в виде кривой b2, а на П1 ее проекция b1 представляет собой прямую линию. Такой вариант возможен в случае, если кривая b является плоской кривой и располагается в проецирующей плоскости Г (рис. 3.8в).

3.3. Взаимное положение прямой и точки

Точка относительно прямой линии может располагаться различным образом:

а) принадлежать прямой;

б) располагаться выше или ниже этой прямой;

в) находиться перед прямой (т. е. ближе к наблюдателю) или за прямой (т. е. дальше от наблюдателя, чем прямая).

Точка принадлежит прямой (М Ì l), если обе ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой и находятся на одной линии связи, т. е. М1Ì l1, а М2 Ì l2 (рис.3.9а и рис.3.9б).

А как определить расположение точки выше (над) прямой или ниже (под) прямой? На рис.3.10а дано наглядное изображение точки А, расположенной выше прямой d и точки В, расположенной ниже прямой d. На рис. 3.10б дан комплексный чертеж взаимного расположения прямой d и точек А и В. Из рис.3.10б видно, что положение точек «над» или «под» прямой необходимо определять по их фронтальным проекциям.

 

Чтобы определить расположение точки «перед» или «за» прямой, рассмотрим наглядное изображение точек С и D относительно прямой t (рис.3.11а) и комплексный чертеж взаимного расположения прямой и точек (рис.3.11б). Из рис.3.11а видно, что расположение точек «перед» и «за» прямой необходимо определять по их горизонтальным проекциям.

 

В данном случае проекция D1 ниже проекции прямой t1, следовательно точка D расположена ближе к наблюдателю, чем прямая t, т. е. D перед t. Тогда точка C находится за прямой t.

m2

Если рассмотреть комплексный чертеж точки А и прямой m (рис.3.12), то можно сделать вывод, что точка А расположена одновременно ниже прямой m и за прямой m.

 

Рис. 3.12

3.4. Взаимное расположение прямых

Между собою две прямые могут располагаться:

а) параллельно друг другу;

б) пересекаться между собой;

в) быть скрещивающимися прямыми.

3.4.1. Параллельные прямые

Если прямые параллельны в пространстве, то на комплексном чертеже их соответствующие проекции параллельны. То есть, если m êên, то m1 êê n1 и m2 êê n2 (рис.3.13). И наоборот, если на комплексном чертеже проекции прямых взаимно параллельны, то значит, в пространстве эти прямые параллельны.

 

3.4.2. Пересекающиеся прямые

Если две прямые пересекаются в пространстве, то на комплексном чертеже их проекции тоже пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. То есть, если а∩b =К, то а1 ∩b1=К1 и а2 ∩b2=К2 (рис.3.14). И наоборот, если на комплексном чертеже даны пересекающиеся проекции двух прямых и проекции точек их пересечения лежат на одной линии связи, то значит, в пространстве эти прямые пересекаются.

 

3.4.3. Скрещивающиеся прямые

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то это скрещивающиеся прямые.

На рис. 3.15 даны примеры скрещивающихся прямых, где l t и h m.

3.4.4. Перпендикулярные прямые

(проецирование прямого угла)

В разделе 1 было изложено свойство прямого угла при ортогональном проецировании, в котором утверждалось: прямой угол проецируется на плоскость проекций в прямой, если одна его сторона параллельна этой плоскости проекций.

Из определения можно сделать вывод, что если одной стороной прямого угла является либо горизонталью ( h ), либо фронталью ( f ), то прямой угол будет изображаться на П1 в виде прямого угла a1 Ù h1 (рис. 3.16а) или на П2 в виде прямого угла b2 Ù f2 (рис. 3.16б). Во всех других случаях прямой угол на плоскости проекций П1 П2 не будет проецироваться в прямой.

 

Таким образом, чтобы построить комплексный чертеж двух перпендикулярных прямых l и a, надо, чтобы одна из прямых была либо горизонталью (рис. 3.17а), либо фронталью (рис. 3.17б).

Если, например, на плоскости проекций П1 проекции прямых l1 и a1 пересекаются под прямым углом (рис.3.18), но ни прямая l, ни прямая а не являются горизонталью, то в пространстве прямые l и a не перпендикулярны.

3.5. Примеры решения задач

Задача 3.1. Построить комплексный чертеж отрезка прямой АВ, если известны координаты точек: А (5,15,20), В (30,10,5). Как называется такая прямая?

Решение. Как известно, отрезок - это прямая, ограниченная с двух сторон точками А и В, координаты которых заданы. По координатам строим вначале комплексный чертеж точки А, т. е. проекции А1 и А2, а затем проекции точки В (В1 и В2) так, как было указано в п. 2.2 «Комплексный чертеж точки» раздела 2. После этого соединяем соответствующие проекции точек (А1В1) и (А2В2) прямыми линиями, получаем комплексный чертеж отрезка прямой (рис.3.19).