Лекции по начертательной геометрии (стр. 16 )

Рис. 5.40

 

На рис. 5.40а даны проекции определителя, а на рис. 5.40б изображены проекции поверхности однополостного гиперболоида вращения.

5.4.3г. Двуполостный гиперболоид вращения

Двуполостной гиперболоид вращения получается при вращении ветвей гиперболы как образующих d и d ¢ вокруг своей действительной оси i. На рис. 5.41а представлены проекции определителя поверхности, а на рис. 5.41б изображены проекции такой поверхности.

 

5.4.3д. Сфера

Сфера образуется при вращении образующей окружности d вокруг оси, когда центр О окружности лежит на оси вращения i. На рис. 5.42а представлены проекции определителя поверхности, а на рис. 5.42б изображены проекции поверхности сферы.

i1

 

5.4.4. Поверхности вращения четвертого порядка (Тор)

Поверхность тора образуется вращением окружности d вокруг оси i, когда центр окружности О не лежит на оси вращения.

Возможны два варианта проекций поверхности тора:

а). Закрытый тор Ф(d,i), когда образующая окружность d касается или пересекает ось вращения i (рис. 5.43а);

б). Открытый тор L (d,i), когда образующая окружность d не пересекает и не касается оси вращения i (рис. 5.43б).

На рисунках 5.43а и 5.43б даны проекции определителя тора, а на рисунках 5.44а и 5.44б изображены проекции поверхностей закрытого и открытого тора.

F(i, d)
L(i, d)
б
Рис. 5.43
а
Рис. 5.44

5.5. Построение проекций точек, лежащих на поверхностях вращения

Алгоритм построения недостающих проекций точек, принадлежащих поверхностям вращения, одинаков для различных видов поверхностей вращения.

5.5.1. Ось вращения i перпендикулярна горизонтальной П1 или фронтальной П2 плоскостям проекций

Пусть поверхность вращения задана так, что ось вращения i перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, например i ^ П1. В этом случае на П2 все параллели проецируются в виде прямых линий, перпендикулярных оси вращения, а на П1 они проецируются в виде окружностей.

а). Пусть на поверхности вращения задана точка А, причем задана ее фронтальная проекция А2 (рис. 5.45). Пусть на этой проекции точка А является видимой. Требуется построить ее горизонтальную проекцию.

Через проекцию А2 точки проводим проекцию m2 параллели поверхности перпендикулярно оси i2 до пересечения с главным меридианом поверхности в точках 12 и 129. Замеряем радиус параллели – это расстояние от оси вращения (точка О2) до главного меридиана 12, т. е. R=О212. Этим радиусом на П1 из центра i1ºО1 строим окружность - горизонтальную проекцию m1 параллели, на которой и находится проекция А1 точки А.

Рис. 5.46

Рис. 5.45

 

Поскольку на фронтальной проекции точка А является видимой, то горизонтальная проекция А1 этой точки будет располагаться на нижней части окружности параллели m1.

б). Если на чертеже поверхности вращения задана горизонтальная проекция В1 точки В (рис. 5.46), то В2 строится в обратном порядке.

Из i1, как из центра радиусом R=i1B1 строим проекцию m1 параллели. Находим точку 11 пересечения m1 с горизонтальной проекцией главного меридиана. Проекцию 12 точки 1 строим на фронтальной проекции главного меридиана. Через 12 перпендикулярно i2 проводим фронтальную проекцию m2 параллели, на которой по линии связи строим проекцию В2 точки В.

Так как проекция В1 точка В на П1 расположена на верхней части окружности параллели m1, то в этом случае на фронтальной проекции точка В лежит на невидимой части поверхности вращения, поэтому проекция В2 обозначена в скобках.

Если ось i поверхности вращения перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то алгоритм построения недостающей проекции точки, лежащей на поверхности, аналогичен описанному выше, только все построения необходимо начинать на той плоскости проекций, где задана проекция точки в той же последовательности.

5.5.2. Ось вращения i параллельна фронтальной П2 или горизонтальной П1 плоскостям проекций

Пусть заданы проекции конуса вращения, у которого ось вращения параллельна горизонтальной плоскости проекции (рис. 5.47). Пусть на поверхности задана точка А, причем задана ее фронтальная проекция (А2), лежащая на невидимой стороне проекции конуса. Требуется построить горизонтальную проекцию А1 этой точки.

 

Рис. 5.47

 

Построение недостающей проекции точки в таких случаях выполняется с помощью вспомогательных образующих.

Из вершины конуса вращения через А2 проводим вспомогательную образующую d2 до пересечения с основанием конуса. Так как не П2 проекция точки невидимая, то вспомогательная образующая пересекает дальнюю дугу основания конуса в точке 12. По линии связи на горизонтальной проекции основания конуса строим точку 11. Через эту точку проводим горизонтальную проекцию d1 вспомогательной образующей, на которой и строим проекцию А1 точки А. Эта проекция будет видимая, т. к. находится на верхней половине конуса.

Если точка задана на горизонтальной проекции, то все построения выполняются точно также, начиная с проведения вспомогательной образующей на горизонтальной проекции.

5.5.3. Ось вращения i перпендикулярна профильной плоскости проекций П3

Если ось i поверхности вращения перпендикулярна профильной плоскости проекции П3, то недостающую проекцию точки следует строить с помощью профильной проекции поверхности вращения.

Пусть заданы горизонтальная и фронтальная проекции поверхности эллипсоида вращения, ось вращения которого перпендикулярна П3 (рис. 5.48). Пусть на поверхности задана точка В, причем задана ее горизонтальная проекция В1. Требуется построить фронтальную проекцию В2 этой точки.

 

Через В1 проведем проекцию параллели m1 перпендикулярно оси вращения i1. На фронтальной плоскости проекции проекция параллели m2 будет также перпендикулярна i2. Однако положение В2 однозначно определить невозможно. Для этого требуется построить профильную проекцию эллипсоида вращения, куда ось вращения будет проецироваться в точку (i3), а проекция эллипсоида будет представлять собой окружность равную диаметру малой оси эллипса.