Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 10 )

;

;

;

;

;

;

.

Ответ: при .

Решение задачи 2. Так как графики функций  и  пересекаются (), то для ответа на вопрос надо решить неравенство .

;

;

.

Последнее неравенство равносильно системе     

(1)

(2)

 

 

.

Ответ: .

Наиболее часто встречающимися ошибками при решении задания С2 в 2006 году были следующие:

1) вместо неравенства  (а — положительное число) или системы  выпускники записывали неравенство , демонстрируя тем самым непонимание условия задачи;

2) неверно находили решение системы дробно-линейных неравенств.

 

Задание С3 экспертной группой Новгородской области по проверке работ единого государственного экзамена по математике было признано несколько надуманным и провокационным. Формулировки заданий всех вариантов имели вид, приведенный ниже. В задачах варьировалась форма участка и числовые данные.

Задание С3. Требуется разместить на земле участок ABDEFHMN площадью 2300 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющих форму, изображенную на рисунке, где EF = MN = = 20 м, FH = 35 м и AN ≥ 30 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, BL и AN, при которых периметр является наименьшим.

Решение. Площадь участка 2300, а его периметр равен периметру прямоугольника KLBD. Обозначим KL = x, BL = y, AN = z. Тогда , z ≥ 30 и .

Поэтому  и .

Рассмотрим функцию  при .

.  при x = 60,  при 0 < x < 60,  при x > 60. Значит, наименьшее значение функции достигается в точке x0 = 60 и равно f(60) = 120. Тогда P ≥ 2f(60) = 240. При x = y = 60 и z = 30 периметр участка ABDEFHMN равен 240.

Ответ: 240 м, 60 м, 60 м, 30 м.

За решение этой задачи брались немногие. Значительная часть решавших не заметила, что периметр ABDEFHMN равен периметру BDKL и, усложнив решение, запуталась в нем. Большая часть тех, кто использовал равенство периметров ABDEFHMN и KLBD для записи функции , заметили, что для наименьшего значения периметра будет выполняться равенство
z = 30, поэтому , а , но никак не обосновали выбор x = 60 в качестве точки минимума. Обосновать то, что точка x = 60 является точкой минимума можно было и без аппарата производной, воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: .

 

Геометрические задачи С4 в 2006 году имели следующий вид:

1. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB : FA = 8 : 5. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 5. Точка M выбрана на ребре BC так, что BM : MC = 3 : 5. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и B. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна 256π. Найти объем пирамиды ABMT.

2. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB : FA = 8 : 5. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 5. Точка M выбрана на ребре BC так, что BM : MC = 3 : 5. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и B. Объем пирамиды ABMT равен 64. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB. Найдите площадь этой сферы.

3. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярна ABC, тангенс угла FAC равен , тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен . Точка M лежит на ребре BC, BM = 2. Точка L лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и С. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен 5. Найдите объем пирамиды LBDM.

4. Основанием пирамиды FABCD является прямоугольник ABCD. Плоскость AFC перпендикулярна ABC, тангенс угла FAC равен , тангенс угла между прямой BC и плоскостью AFC равен . Точка M лежит на ребре BC, BM = . Точка L лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и С. Объем пирамиды LBDM равен 72. Центр сферы, описанной около пирамиды FABCD, лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите радиус этой сферы.

Решения задач аналогичны. Приведем решения задач 1 и 4.

Решение задачи 1.

1) Пусть R — радиус сферы, описанной около пирамиды FABC. Тогда по условию 4πR2 = 256π, R = 8. Пусть О — центр этой сферы, тогда OA = OB =
= OC = OF = R = 8. Так как О лежит на ребре AB, то О — середина отрезка AB и треугольники ABC и ABF — прямоугольные с общей гипотенузой AB.

2) По условию T  AF и TB = TM. Опустим из точки T в плоскости ABF перпендикуляр TH на прямую AB. Так как ABF ^ ABC, то TH ^ ABC и, следовательно, отрезки HM и HB — проекции равных наклонных TM и TB. Значит, HM = HB, треугольник BHM равнобедренный и его высота HP является медианой, то есть MP = PB.