Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 14 )

Решение задачи 2.

Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие ¹ (а – 4) · . Обозначим log3x = t и рассмотрим уравнение t2 – 7 = (a – 4) t, t2 – (a – 4) t – 7 = 0. Это уравнение квадратное. Так как D = (a – 4)2 + 28 > 0, то оно имеет два различных корня, причем разных знаков (t1·t2 = –7). Пусть t2 — положительный корень, . Найдем значение а, при которых t2 Î [1; 2) (так как х Î [3; 9), то t Î [log33; log39), t Î [1; 2)).

, ,

или  система несовместна.

Итак, уравнение t2 – (a – 4) t – 7 = 0 имеет корень из промежутка [1; 2) при а Î [–2; 2,5). Значит, это уравнение не будет иметь корней на данном промежутке при а Î (–; –2)[2,5; +).

При решении заданий вида 1, 2 основные ошибки были связаны с тем, что выпускники:

1) не переходили к новой переменной, чем усложняли решение и не могли довести его до конца;

2) искали те значения а, при которых уравнение не имеет корней, а не те, при которых уравнение имеет корни на заданном промежутке;

3) считали, не приводя никаких обоснований, что вводимая в рассмотрение функция f(х) монотонна, и находили множество ее значений, подставляя концы промежутка, которому принадлежит х.

Приведем пример одного из таких решений, в котором есть и другие типичные ошибки: «Найдем область значений функции, зная область определения, то есть подставим концы отрезка [3; 9).

f(х) = – (а – 4) · – 7

f(3) = – (а – 4) · – 7 = –2 – а;

f(9) = – (а – 4) · – 7 = 5 – 2а.

Е(f) = [–2 – a; 5 – 2a).

Теперь эта область значений не должна иметь значение 0, отсюда следует, что значения функции должны быть или отрицательными, или положительными.

или

а Î (2,5; +) а Î Æ».

В этом решении допущены еще ошибки при записи и решении систем неравенств. При ликвидации указанных пробелов и ошибок это решение можно рассматривать как еще один способ решения заданий С3;

4) не понимают смысла решения уравнений с параметром, находят подбором некоторые значения а, удовлетворяющие условию.

 

Все задания С4 в 2007 году были по виду следующего содержания:

1. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором Ð С = 45°, BC = , AC = 28. Боковое ребро AD перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DВ параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T — основание высоты ВТ треугольника ABC. Во сколько раз объем первой пирамиды больше объема второй пирамиды?

2. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором Ð С = 95°, AC = 30. Основание высоты пирамиды, опущенной из вершины D, лежит на отрезке AС. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DВ параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды с вершиной T. Точка Т лежит на отрезке АС, ТА = 11. Во сколько раз объем первой пирамиды больше объема второй пирамиды?

3. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором Ð С = 60°, АC = 20, ВC = 16. Боковые грани DAС и DAВ перпендикулярны плоскости основания пирамиды, а ребро AD = . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра DВ параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке С. Найти объем второй пирамиды.

Решение первой задачи. По свойству прямой, параллельной плоскости, плоскость сечения, проходящая через середину М ребра DВ параллельно ребрам BC и AD, пересекает грани ВСD, AВС и AВD по отрезкам соответственно параллельным этим ребрам, то есть LM || BC || FN и MN || AD || LF. Следовательно, сечение MLFN (основание пирамиды TMLFN) является параллелограммом, причем его стороны — средние линии треугольников — граней пирамиды DABC.

Диагональ LM делит параллелограмм MLFN на два равных треугольника, поэтому площадь LFN равна половине площади параллелограмма MLFN. Следовательно, объем V пирамиды TMLFN равен удвоенному объему пи­рамиды TLFN, поскольку они имеют общую вершину Т, то есть V = 2VTLFN . Примем треугольник TFN за основание пирамиды TLFN. Так как AD ^ AВС и
AD || LF, то LF ^ AВС, и следовательно, LF — высота пирамиды TLFN, опущенная из вершины L. По свойству средней линии треугольника ADC
LF = 0,5AD. В треугольнике BCT Ð CTB = 90°, Ð BCT = 45°, BC = , тогда CT = ВC cos 45° = = 6. Следовательно, FT = CF – CT = 14 – 6 = 8. Пусть NH — высота треугольника TFN. Тогда NH || BT, а так как N — середина отрезка AВ, то по свойству средней линии треугольника ABT имеем
NH = 0,5BT = = 3.

Найдем площадь S основания TFN: S = 0,5 · FT · NH = 12 (ед.2). Следовательно, V = 2VTLFN = S · LF = 4AD (ед.3). Объем пирамиды DABC равен = 28AD (ед.3). Следовательно, объем пирамиды DABC в 7 раз больше объема пирамиды TMLFN.

Ответ: 7.

При решении задач С4 ошибки, которые были допущены, прежде всего, обусловлены тем, что выпускники, опуская стереометрическую часть решения, не всегда верно представляют объекты, о которых идет речь в условии задачи. Кроме того, встречались вычислительные ошибки и ошибки при использовании формул.

Задачи С5 имели следующий вид: