Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 8 )

Найдем теперь площадь . В отличие от предыдущего решения пусть векторы  и  не единичные векторы по осям  и  соответственно, а имеющие длину . Тогда , , , , , , , .

.

 

 поэтому угол между векторами  и  острый. Тогда

.

.

Итак, площадь треугольника  равна .

Чаще всего ошибки при решении стереометрических задач связаны с тем, что выпускник:

1)         не понимает текст задачи, подменяет ее другой, более простой;

2)         неверно делает чертеж к задаче;

3)         не знает определения геометрических объектов и их свойств (например, « — правильная пирамида, то есть это пирамида, у которой все ребра равны»);

4)         неверно строит (или указывает) угол между прямой и плоскостью, угол между скрещивающимися прямыми (например, углом между прямой  и плоскостью  считает угол  (см. рис. на с. 18));

5)         не обосновывает свое решение;

6)         заменяет решение стереометрической задачи решением планиметрической, проектируя ортогонально пирамиду на плоскость основания и заменяя вычисление углов между скрещивающимися прямыми, прямой и плоскостью, вычислением углов между их ортогональными проекциями;

7)         допускает вычислительные ошибки.

Приведем характерный пример.

Выпускник решает задачу: «Через центр  данной сферы проведено сечение. Точка  выбрана на сфере, а точки  последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точка  лежит на ребре  так, что . Найдите тангенс угла между  и плоскостью ». Его «решение» выглядит следующим образом:

«

.

».

Выпускник не проводит никаких рассуждений, чтобы определить вид пирамиды (по крайней мере, не записывает); делает неверно основной чертеж ( на чертеже не параллельно ); не строит искомый угол на основном чертеже и опять же не проводит никаких рассуждений, поэтому неясно, как проводится отрезок ; проектируя ортогонально (хотя ссылок на это нет) пирамиду на плоскость основания и делая второй чертеж, использует те же обозначения, что и на основном чертеже; считает, что угол между прямой  и плоскостью  равен углу между проекциями этой прямой и этой плоскости на плоскость основания пирамиды; записывает ряд формул, не поясняя, на основании чего они записываются, и какие фигуры и на каком чертеже следует рассматривать. Создается впечатление, что выпускник, представивший комиссии такое решение, оцененное в ноль баллов, не имеет понятия о том, что за наука геометрия и как правильно выстраивать цепочку рассуждений. Но ведь именно умение выстраивать логически и математически обоснованную цепочку рассуждений является важнейшим при изучении вузовских курсов математики. То, что этот выпускник поступил в вуз, не представляет сомнения, ведь первые три задания типа С сделаны у него безупречно и оценены в максимальное количество баллов (2, 2, 4). Работ с раскладом баллов (2, 2, 4, 0) было много. Напрашивается грустный вывод о том, что это беда выпускников, которых геометрии обучали формально, либо вообще не обучали.

 

Задание С5 было самым трудным, требовало глубокого, осмысленного владения школьным материалом и умением применять свои знания в нестандартной ситуации.

Приведем виды заданий, предлагавшихся в 2005 году на экзамене.

1.     Даны два уравнения:

 и .

Значение параметра  выбирается так, что  и произведение числа различных корней первого уравнения и числа различных корней второго уравнения равно числу . Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

2.     Даны два уравнения:

 и .

Значение параметра  выбирается так, что  и число различных корней первого уравнения в сумме с числом  дает число различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

3.     Даны два уравнения:

 и .

Значение параметра  выбирается так, что при умножении числа различных корней первого уравнения на число различных корней второго уравнения получается число . Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

Особенность этих задач в том, что для ответа на вопрос надо сначала выбрать значения параметра, удовлетворяющие условию. Для этого надо либо выполнив часть равносильных преобразований над уравнением, либо использовав свойства функций, записанных в левой и правой частях уравнения, сделать вывод о числе корней каждого уравнения. Затем, перебрав все возможные варианты, найти те значения , которые удовлетворяют условию, и при этих значениях  решить второе уравнение.