Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 5 )

2)         при использовании правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»;

3)         при трактовке терминов «не превосходит», «не меньше», «не больше»;

4)         при решении простейших неравенств вида  (например, );

5)         при решении неравенств вида   и т. п. при определенных условиях, накладываемых на ;

6)         при решении квадратных неравенств (заменяют неравенство уравнением и неверно записывают ответ);

7)         при записи решения системы, состоящей из двух квадратных неравенств;

8)         при решении неравенств (например, ) методом интервалов (не раскладывают числитель на линейные множители, либо линейные и квадратный трехчлен, не учитывают кратность корня и знаки на промежутках расставляют чередуя «+» и «–», не обосновывают возможность деления обеих частей неравенства на квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом и не всегда видят такую возможность);

Кроме этого, при решении задачи С3 проявилась логическая ошибка, которую очень часто допускают учащиеся при сравнении выражений и доказательстве тождеств и неравенств. Ошибка состоит в том, что, сравнивая выражения  и , учащиеся сразу записывают неравенство , выполняют преобразования, получают новое неравенство, которое кажется им очевидным, и делают вывод. Пример подобного решения.

«

Сравним  и .

Следовательно, ».

Последнее неравенство с переменной  показалось выпускнику очевидным. На самом деле утверждать, что оно верно при любых значениях , отличных от нуля, нельзя. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить, например,  и . Но даже в том случае, когда в результате преобразований получилось бы очевидное неравенство, вывод о том, что  мог бы быть сделан только после проверки обратимости всех выполненных преобразований. Простейшим примером, подтверждающим ошибочность такого рода рассуждений, является следующее «доказательство». «Доказать, что . Пусть , тогда , . Последнее равенство верно, следовательно, ».

 

Рассмотрим теперь, какие стереометрические задачи предлагались на едином государственном экзамене в 2005 году, и какие типичные ошибки были допущены выпускниками при их решении.

Можно выделить четыре вида стереометрических задач, которые отличаются требованием. Примерами таких задач являются следующие.

1.     Дана сфера радиуса . В этой сфере проведено сечение с центром в точке . Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние . Точка  выбрана на сфере, а точки  — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точка  — середина ребра . Найдите синус угла между прямой  и плоскостью  (или прямой  и плоскостью , причем точка  делит  в определенном отношении, не обязательно ).

2.     В данной сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстояние , а радиус сечения равен . Точка  выбрана на сфере, а точки  — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точка  — середина ребра . Найдите тангенс угла между прямой, содержащей высоту пирамиды, и плоскостью, проходящей через прямую  параллельно .

3.     Дана сфера радиуса . В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстояние . Точка  выбрана на сфере, а точки  — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точка  — середина ребра . Найдите тангенс угла между прямыми  и .

4.     Через центр  данной сферы проведено сечение. Точка  выбрана на сфере, а точки  — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точка  — середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми  и .

5.     Через центр  данной сферы радиуса  проведено сечение. Точка  выбрана на сфере, а точки  — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды  наибольший. Точки  и  — середины ребер  и  соответственно. Найдите площадь треугольника .