Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 19 )

5. Найдите множество значений функции .

6. Найдите множество значений функции у = sin 2x, если

.

7. Найдите все значения p, при которых уравнение 9 – 4cos x = p(1+tg2x) имеет хотя бы один корень.

8. Найдите все значения p, при которых уравнение

23х+1 + 8 = 3· 2х+1(3 + 2х) + p или не имеет корней, или имеет единственный корень.

9. Найдите все значения p, при которых уравнение  не имеет корней.

Для нахождения множества значений функции существует четыре основных способа:

1)    оценка с использованием свойств неравенств значений выражения в правой части формулы, задающей функцию;

2)    оценка значений выражений в правой части формулы с учетом свойств всех функций, участвующих в записи данной;

3)    нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке с помощью аппарата производной;

4)    задание формулой функции, обратной данной, и нахождение ее области определения.

Использовать первый из вышеперечисленных методов можно только в тех случаях, когда заданная функция получена путем:

а) сложения элементарной функции с постоянной;

б) умножения элементарной функции на постоянную;

в) сложения возрастающих (убывающих) на данном промежутке функций;

г) умножения возрастающих (убывающих) функций, принимающих только положительные значения на данном промежутке.

Покажем на простом примере, что использование метода оценки значений выражения в правой части формулы, задающей функцию, в других случаях может привести к неверному ответу.

Пусть требуется найти множество значений функций  и , заданных на множестве .

Решая методом оценки, получаем , тогда , а . На самом же деле, множество значений функции  состоит из одного числа , а множество значений функции  — это числовой промежуток .

Первый метод можно смело использовать при нахождении множества значений функции в задачах типа А единого государственного экзамена. При нахождении множества значений функции в задачах типа С лучше пользоваться вторым или третьим из вышеперечисленных методов. Если экзаменуемый хочет привести эскиз графика функции, то выполнять его следует на основе частичного или полного исследования функции с использованием аппарата производной, а не по точкам. Как правило, в задачах типа С рассматриваются сложные функции и их графики не могут быть получены из графиков элементарных функций путем преобразований.

Необходимым этапом решения задач на нахождение множества значений функции на заданном промежутке является обоснование того факта, что функция принимает все значения между найденными наименьшим и наибольшим. Для этого указываются значения , при которых достигаются наименьшее и наибольшее значения, и исследуется вопрос о непрерывности функции на заданном промежутке.

С четвертым из вышеуказанных методов знакомятся только учащиеся классов с углубленным изучением математики, поэтому останавливаться на нем не будем.

Приведем решения заданий 5, 7 и 8 (см. с. 56).

Решение задания 5.

100 + х2 ³ 100 при любом действительном х. Так как функция у = lg t является возрастающей, то lg (100 + х2) ³ lg 100, lg (100 + х2) ³ 2.

1 + lg (100 + х2) ³ 3. Функция  является убывающей, поэтому

, . Функция  — убывающая, так как 0,1 < 1, тогда  или . Значит, множество значений функции  есть числовой промежуток .

Ответ: .

Решение задания 7.

Так как , то уравнение можно записать в виде . Это уравнение равносильно системе

Обозначим cos x = t и рассмотрим функцию f(t) = 9t2 – 4t3, заданную на множестве [–1; 0)(0; 1].

f ′(t) = 18t – 12t2, f ′(t) = 6t(3 – 2t). f ′(t) = 0, если t(3 – 2t) = 0, то есть t = 0 или t = . Но 0 Ï [–1; 0)(0; 1], Ï [–1; 0)(0; 1]. Определим, какой знак имеет производная f ′(t) слева и справа от точки 0.

При t ® 0, f(t) ® 0, f(–1) = 9 + 4 = 13, f(1) = 9 – 4 = 5.

Так как функция f(t) является непрерывной на промежутке [–1; 0), то она принимает все значения промежутка (0; 13]. Так как функция f(t) является непрерывной на промежутке (0; 1], то она принимает все значения промежутка (0; 5]. Значит, промежуток (0; 13] — множество значений функции f(t). Поэтому уравнение f(t) = p будет иметь хотя бы один корень при p Î (0; 13].

Ответ: p Î (0; 13].

 

Решение задания 8.

Обозначим 2х = t, t > 0. Тогда уравнение примет вид 2t3 + 8 = 6t(3 + t) + p; 2t3 – 6t2 – 18t + 8 = p.

Рассмотрим функцию f(t) = 2t3 – 6t2 – 18t + 8 при t Î , исследуем ее и схематично построим график.

f ′(t) = 6t2 – 12t – 18, f ′(t) = 6(t2 –2t – 3), f ′(t) = 6(t +1)(t – 3).

f ′(t) = 0 при t + –1 или t = 3, –1 Ï , 3 Î .

При t Î (0; 3) f ′(t) < 0. При t Î f ′(t) > 0. Значит t = 3 — точка минимума, f(3) = –46.

При t ® 0, f(t) ® 8. При t ® f(t) ® . Итак, при t > 0 график имеет вид (см. рис.). Количество корней уравнения f(t) = p при t > 0 равно количеству точек пересечения графика функции с прямой у = p. Если p < –46, то прямая у = p не пересекает график, если p = –46 или p ³ 8, то прямая у = p пересекает график в единственной точке. Для остальных p имеются две точки пересечения.

Ответ: .

При повторении функциональной линии необходимо выделить все элементарные функции, которые изучались в школе, исследовать некоторые из этих функций в общем виде ( и др.), и на основе проведенных исследований построить графики функций в зависимости от параметров, обратив особое внимание на то, почему мы можем соединить нанесенные точки плавной кривой (рассматриваемые функции непрерывны на их области определения). При исследовании обратить внимание на связь свойств функции  с решением уравнений и неравенств. Решая уравнения , мы находим нули функции, решая неравенство  — промежутки, на которых функция принимает положительные значения.