Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 11 )

3) Плоскости ABF и ABC перпендикулярны, поэтому проекцией прямой BC на плоскость ABF является прямая AB. Отсюда угол между прямой BC и плоскостью ABF равен углу B треугольника ABC и tg ÐB = 5, тогда

cos B = , sinÐB = .

4) Так как AB = 2R = 16, то BC = AB · cos ÐB = ,
AC =AB · sin ÐB = . Так как TH ^ ABC, то TH — высота пирамиды ABMT и VABMT = · TH · S∆AMB, S∆AMB = · AC · MB. Так как BM : MC = 3 : 5, то
BM : BC = 3:8 и BM = . Значит, S∆AMB = . Так как BM : BC = 3:8 и MP = PB, то BP = PM = 3a, MC = 10a и . AC ^ BC и HP ^ BC, значит, AC || HP и , AH = . В прямоугольном
треугольнике AFB . Из треугольника ATH (Ð AHT = 90°)
TH = AH · tg ÐA = . Значит, VABMT = = 64.

Ответ: 64.

Решение задачи 4.

Пусть точка О, лежащая в плоскости ABC — центр сферы, описанной около пирамиды FABCD. Тогда OA = OB = OC = OD = OF = R. Но ABCD — прямоугольник, поэтому О — точка пересечения его диагоналей, AC = 2R — диаметр сферы. Плоскости ABC и AFC перпендикулярны, поэтому прямая AC — проекция прямой BC на плоскость AFC. Значит, угол BCA — это угол между прямой BC и плоскостью AFC. Обозначим Ð BCA = b, тогда по условию .

По условию L  AF и LM = LC. В плоскости AFC из точки L опустим перпендикуляр LH на прямую AC. Так как AFC ^ ABC, то LH ^ ABC и HM, HC — проекции соответственно наклонных LM и LC на плоскость ABC. Так как LM = LC, то HM = HC и треугольник CHM — равнобедренный. Его высота HP является и медианой, то есть MP = PC.

Выразим через R объем пирамиды LBDM. Так как VLBDM = · LH · S∆BDM, то выразим через R высоту LH и элементы треугольника BDM. В треугольнике ACB Ð ABC = 90°, AC = 2R, tg ÐBCA = , тогда , , BC = AC · cos β = 2R · , AB = AC · sin β =
= 2R · . Так как BM =  · BC, то MC =  · BC = ,
PC = MP =  · MC = . В треугольнике CPH Ð CPH = 90°, Ð PCH = b,
PC = , тогда HC = . AH = AC – HC = 2R –  = . Отрезок DC — высота треугольника BDM, DC = AB, тогда S∆BDM = BM · DC = = . В треугольнике AHL Ð AHL = 90°, tg Ð LAC = tg Ð LAH = по условию, AH = , значит, LH = AH · tg Ð LAH = ·= . Окончательно VLBDM = ·  · = . Так как VLBDM = 72, то = 72,
R3 = 125, R = 5.

Ответ: 5.

К решению задачи С4 традиционно приступает не более 10 % выпускников. Основные претензии экспертов в 2006 году были связаны с тем, что многие выпускники не обосновывали стереометрическую часть решения задачи (соответственно пункты 1, 2 и 3 приведенного выше решения опускались) и фактически решали задачу по представлению, сформировавшемуся на основе анализа текста. Это представление, как и анализ, не всегда было правильным, а отсюда и ошибки в решении задачи, чаще всего связанные с неверным изображением угла между прямой и плоскостью, основания высоты пирамиды, объем которой требуется найти (или он дан). Из-за неумения пользоваться свойствами пропорций и отношений для получения новых верных пропорций и отношений, равных данному, неправильного выделения прямого угла в треугольнике (или путаницы с определениями тангенса, синуса, косинуса углов прямоугольного треугольника), встречались вычислительные ошибки.

 

Задания С5 в 2006 году имели вид:

1. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа a × 4a и 143 – 3a × 4a+1,5 + a2 × 16a  являются решениями неравенства

.

2. Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа  и  являются решениями неравенства

 .

Решение задачи 1.

Решим неравенство .

или

Решим сначала первую систему неравенств.

 

.