Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 15 )

1. Докажите, что система уравнений

не имеет решений.

2. Докажите, что система уравнений

 имеет хотя бы два различных решения.

3. Докажите, что система уравнений

 имеет единственное решение.

Приведем решение задачи 1.

Преобразуем подкоренное выражение во втором уравнении системы:

. Число х = –1 является корнем, так как –9 + 39 –55 + 25 = 0. Поэтому двучлен (х + 1) можно выделить множителем, например, методом группировки: 9х3 + 39х2 + 55х + 25 = = 9х2(х + 1) + 30х2 + 55х + 25 = 9х2(х + 1) + 30х(х + 1) + 25(х + 1) =
= (х + 1)(9х2 + 30х + 25) = (х + 1)(3х + 5)2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, то есть х =  или х ³ –1.

Исследуем функцию f (x) = 9х3 + 18х2 + 17х + 20, записанную в левой части первого уравнения системы. f ′(x) = 27х2 + 36х + 17. Так как 27 > 0 и , то f ′(x) > 0 для всех х Î R. Значит, функция
f (x) = 9х3 + 18х2 + 17х + 20 возрастает и поэтому первое уравнение системы имеет не более одного корня.

х =  является корнем первого уравнения системы, так как   — верное числовое равенство. Поэтому система может иметь решения только при х = .

При х = 3х + 10 = 0, у + 2 += у – 1 и второе уравнение системы принимает вид 2 + 5у – 1·(у – 1) = у. Число у = 1 не является его корнем. Поэтому запишем уравнение в виде , .

Если у < 1, то у – 1 < 0 и . Аналогично, если у > 1, то . Значит, уравнение не имеет корней, а система не имеет решений.

Замечание. Для обоснования того факта, что второе уравнение при х =  не имеет корней, можно было использовать графический метод.

.

Обозначим у – 1 = t, тогда получим . Рассмотрим функции f(t) = 5t и g(t) =  при
t ¹ 0. График функции f(t) при t < 0 расположен между прямыми у = 1 и у = 0, а при t > 0 — выше прямой у = 1. График функции g(t) при t < 0 — выше прямой у = 1, а при t > 0 — ниже прямой у = 1. Графики функций общих точек не имеют, а поэтому уравнение  корней не имеет.

Решение задания 3.

Преобразуем подкоренное выражение во втором уравнении

.

Число х = 1 является корнем числителя, так как 49 – 133 + 120 – 36 = 0 есть верное числовое равенство. Поэтому для некоторого квадратного трехчлена Ах2 + Вх + С верно 49х3 – 133х2 + 120х – 36 = (х – 1)(Ах2 + Вх + С) =
= Ах3 + (В – А)х2 + (С – В)х – С. Значит, А = 49, С = 36, В – А = –133, В = –84. Тогда С – В = 120 и 49х3 – 133х2 + 120х – 36 = (х – 1)(49х2 – 84х + 36) =
= (х – 1)(7х – 6)2.

Подкоренное выражение неотрицательно, то есть .

Решим это неравенство.

.

Если х ³ 1, то х3 ³ х2 ³ х и 21х3 + 24х2 –43х +6 = 21х3 + 24(х2 – х) – 19х + 6 = = 19(х3 – х) + 24(х2 – х) + 2х3 + 6 > 0. Поэтому первое уравнение не имеет корней на промежутке .  — корень первого уравнения, так как   — верное числовое равенство.

Итак, система может иметь решение только при .

При у + 19 – 21х = у + 1, 7,5 – 7х = 1,5 и второе уравнение принимает вид (у + 1)1,5 + 3у + 5 = 7 или (у + 1)1,5 = 2 – 3у.

Функция f(у) = (у + 1)1,5 является возрастающей, а функция g(y) = 2 – 3у является убывающей, поэтому уравнение (у + 1)1,5 = 2 – 3у имеет не более одного корня. Если у = 0, то (у + 1)1,5 < 2 – 3у, а если у = 1, то (у + 1)1,5 > 2 – 3у.

Так как функции f(у) и g(y) непрерывные на всей области определения, то уравнение имеет единственный корень у0 Î (0; 1). Значит, система имеет единственное решение .

К решению задания С5 приступали немногие. Встречались полные решения. Ошибки, которые делали выпускники, состояли в том, что:

1) неверно преобразовывали подкоренное выражение;

2) применяя схему Горнера к нахождению рациональных корней первого уравнения, допускали вычислительные ошибки (забывали находить и сравнивать между собой сумму коэффициентов при четных степенях х и сумму коэффициентов при нечетных степенях х);

3) не обосновывали важные моменты решения.

 

Данные анализов типичных ошибок, допущенных на единых государственных экзаменах по математике в 2002–2007 годах выпускниками школ г. Великого Новгорода и Новгородской области, претендующими на оценку «отлично» в аттестате, позволяют сделать следующие выводы:

1. Некоторые ошибки повторяются из года в год (вычислительные ошибки, ошибки в преобразованиях выражений различных видов, при раскрытии знака модуля, ошибки при использовании свойств функций и построении графиков функций и т. д.). Значит, есть темы, изучение которых вызывает у учащихся наибольшие затруднения и требующие поэтому наиболее пристального внимания со стороны учителя в течение всех лет обучения, а не только в период заключительного повторения.

2. Основная причина появления ошибок кроется в поверхностном усвоении ведущих понятий школьных курсов математики и свойств этих понятий, в несформированности ряда умений. Добиваться качественного усвоения знаний — одна из основных задач обучения.

3. Многие учащиеся не умеют анализировать текст задачи, выбирать наиболее рациональный путь решения. Это следствие привычки действовать по образцу, поэтому необходимо варьировать условия задач даже одного вида в процессе обучения математике и уделять должное внимание формированию приемов мыслительной деятельности, связанных с процессом решения задачи.

Объем пособия не позволяет остановиться подробно на вопросе подготовки учащихся к единому экзамену по математике, однако некоторые общие рекомендации будут даны ниже.

Общие рекомендации методического плана по подготовке

учащихся к единому государственному экзамену по математике

 

Можно выделить следующие основные содержательные линии школьных курсов алгебры и алгебры и начал анализа:

– числа и вычисления;

– выражения и их преобразования;

– функции;

– уравнения и неравенства.

Эти линии являются сквозными (то есть пронизывают весь школьный курс указанных выше дисциплин), взаимосвязанными (без изучения чисел невозможно изучать понятие числовой функции, свойства функции помогают решать уравнения и неравенства и т. д.), взаимозависимыми (непонимание вопроса в какой-либо линии ведет к поверхностному изучению вопросов другой линии), взаимопроникающими (зачастую не совсем ясно, к какой из линий следует отнести изучаемый конкретный материал). Такое взаимодействие материала содержательных линий объясняется тем, что в каждой из них мы имеем дело с выражениями различных видов.