Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 20 )

В последние годы в вариантах ЕГЭ стали чаще появляться задания на использование понятий «четная функция», «периодическая функция». Например, следующего вида: «Функция у = f(x) определена на всей числовой прямой и является нечетной периодической функцией с периодом, равным 4. На отрезке [–2; 0] функция у = f(x) задана равенством f(x) = –х2 – 2х. Определите количество нулей функции у = f(x) на отрезке [–5; 3]».

Приведем решение данной задачи. Числа –2 и 0 являются корнями уравнения –х2 – 2х = 0, 0 Î [–2;0], –2 Î [–2; 0]. Так как функция у = f(x) задана на всей числовой прямой и является нечетной, то f(–2) = – f(2) = 0, то есть число 2 также является нулем функции, 2 Î [–5; 3]. Так как функция у = f(x) периодическая с периодом, равным 4, то f(0) = f(0 – 4) = f(–4) и число –4 также является нулем функции. Итак, –4; –2; 0; 2 — нули функции на отрезке [–5; 3].

Для того, чтобы подобные задачи выпускники могли решать, необходимо, чтобы они осознанно владели рассматриваемыми в них понятиями. Поэтому следует повторить все изученные общие свойства функции, рассмотрев не только их аналитическую характеристику, но и геометрическую интерпретацию. Результаты таких повторений можно свести в таблицу (см. приложение 1 на с. 82–87).

Не лишним будет повторить простейшие преобразования графиков функции  (, , где  — некоторые числа), построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля (), применение свойств функций к решению уравнений и неравенств, графический способ решения уравнений и неравенств.

Остановимся немного подробнее на применении свойств функций к решению уравнений и неравенств. В старшей школе уравнение (неравенство) трактуется как равенство вида  (неравенство вида ), где  и  — некоторые функции, рассматриваемые на множестве, являющиеся пересечением областей определения функций  и . Это множество называется областью определения уравнения (неравенства). Такая трактовка позволяет применять ряд функциональных понятий и свойства функций при решении уравнений и неравенств. Рассмотрим использование некоторых из них.

1. Использование понятия «область определения функции».

Пример. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения задается системой  так как  при любом . Решением системы являются числа вида , . Подставим , , в уравнение. Получим: , то есть ,  — корни исходного уравнения.

2. Использование понятия «множество значений функции».

Пример. Решить уравнение .

Решение. . Рассмотрим функцию . Так как –1 £ –sin215px £ 0, 1 £ 2 – sin215px £ 2 и функция является возрастающей, то , то есть множество значений данной функции есть отрезок [3; 9].

Функция  принимает значения из промежутка , так как  и . Значит, уравнение равносильно системе

Решим первое уравнение системы , . Проверим, является ли  корнем второго уравнения. При , 32 = 9 — верное числовое равенство. То есть  решение системы, а значит, и данного уравнения. Ответ: х = –0,6.

3. Использование монотонности функции.

Использование монотонности основывается на утверждениях:

а) Пусть  — непрерывная и строго монотонная на промежутке  функция, тогда уравнение , где  — постоянная, может иметь не более одного решения на .

б) Пусть  и  — непрерывные на промежутке  функции,  строго возрастает, а  строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение  может иметь не более одного решения на промежутке .

План решения уравнения  (неравенства ) с использованием монотонности, будет следующим:

1) Найти область определения уравнения (неравенства).

2) Убедиться в том, что одна из функций  строго убывает, а другая строго возрастает на области определения (либо выделить промежутки из области определения, на которых одна из функций возрастает, а другая убывает).

3) Найти подбором корни уравнения .

4) Сделать вывод на основе приведенных выше утверждений (для уравнений записать числа, являющиеся корнями; для неравенства — промежутки, на которых график функции  располагается выше графика функции ).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Область определения уравнения . Рассмотрим функции

, (1)

. (2)

При  получим .  строго убывает, а  — строго возрастает при . Значит, исходное уравнение имеет не более одного корня на промежутке ,  и  — верное равенство. То есть  является корнем уравнения.