Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 27 )

1. Укажите геометрическое место точек, равноудаленных от вершин данного выпуклого плоского многоугольника, около которого можно описать окружность. Ответ объясните.

2. Укажите геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного выпуклого плоского многоугольника, в который можно вписать окружность. Ответ объясните.

3. Около прямой призмы описана сфера. Где лежит центр этой сферы? Почему?

4. Около пирамиды описана сфера. Где лежит центр этой сферы? Почему?

5. В прямую призму вписана сфера. Где лежит центр этой сферы? Почему?

6. В пирамиду вписана сфера. Где лежит центр этой сферы? Почему?

7. Можно ли вписать сферу в наклонную призму? Почему?

8. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? Почему?

9. Какими свойствами должна обладать призма, чтобы в нее можно было вписать сферу?

10. Какими свойствами должна обладать призма, чтобы около нее можно было описать сферу?

11. Всегда ли в пирамиду можно вписать сферу?

12. Всегда ли около пирамиды можно описать сферу?

Использование метода координат существенно облегчает решение задачи в том случае, когда требуется найти расстояние между точками, угол между прямыми (см. приложение 2 на с. 88–89), поэтому на этапе повторения следует уделить ему должное внимание.

Если выпускник при решении задачи С4 правильно использовал теоремы стереометрии и, соответственно, верно представил объект задачи, то дальнейшее решение, как правило, сводящееся к рассмотрению плоских фигур в различных плоскостях, у него не вызывает затруднений.

Приложение 2

 

Аппарат анализа и метод координат при решении задачи С4,

предложенной на пробном экзамене по математике в 2008 году

 

Задача. Отрезок АВ — диаметр сферы. Точки С, D лежат на сфере так, сто объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите косинус угла между прямыми СМ и АВ, если М — середина ребра BD.

Решение. Так как АВ — диаметр сферы, то треугольники ACB и АDВ — прямоугольные. Примем треугольник ABC за основание пирамиды. Объем пирамиды DABC будет наибольшим, если наибольшие значения будут принимать площадь треугольника ABC и высота пирамиды.

Пусть R — радиус сферы. Докажем, что из всех прямоугольных треугольников с общей гипотенузой 2R наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Пусть СВ = х, тогда .

S∆ABC = . Тогда , где

0 < x < 2R.

.

. .

.

, если 2R2 – x2 = 0, x2 = 2R2, . Так как 0 < x < 2R, то . , если 2R2 – x2 > 0, то есть , .

	S '(х) + –   S(х) 0 2R х

 

 

 — точка максимума функции S(x).

ВС = , тогда . Итак, треугольник АВС — равнобедренный прямоугольный.

Обозначим через О центр сферы. О — середина отрезка АВ. Наибольшее значение высоты будет в том случае, когда DO ^ АВС, то есть DO = R. В остальных случаях высота будет меньше R (если О1 — основание высоты h пирамиды, отличное от О, тогда треугольник DO1O — прямоугольный, DO1 — катет, DO — гипотенуза. DO1 = h < DO = R).

Тогда плоскости треугольников АСВ и ADB перпендикулярны.

Итак, получили СО ^ АВ, СО = АО = = ОВ = R, DO ^ ABC, DO = R.

Введем систему координат. Положительную полуось ОХ направим по лучу ОА, положительную полуось ОУ — по лучу, дополнительному к ОС, положительную полуось OZ — по лучу OD. Длину АО = R примем за 2 единицы. Тогда О (0; 0; 0), А (2; 0; 0), В (–2; 0; 0), С (0; –2; 0), D (0; 0; 2).

М – середина BD, поэтому М (–1;0; 1). Тогда , ,

. Так как , то угол между векторами  и  острый, а значит, равен углу между прямыми СМ и АВ.

Ответ: косинус угла между прямыми СМ и АВ равен .

Замечание. Если не вводить систему координат, то следует провести прямую МК параллельно АВ (К Î AD), выразить через R стороны треугольника СМК и по теореме косинусов найти косинус угла СМК.

Список литературы

 

 

 

1. Груденов, методики работы учителя математики [Текст] / . — М.: Просвещение, 1990.

2. Кондрушенко, ошибок, допущенных учащимися 11-х классов при решении задач части С ЕГЭ по математике в 2002 году, и возможные пути их предупреждения [Текст] / // Ментор. — 2003. — № 1. — С. 5–11.

3. Кондрушенко, преобразования выражений в школьном курсе математики [Текст] / . — Великий Новгород: МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов», 2006. — 72 с.

4. Кондрушенко, , уравнения и неравенства в школьном курсе математики [Текст] / . — Великий Новгород: МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов», 2007. — 104 с.

5. Кондрушенко, [Текст] / // Анализ результатов единого государственного экзамена выпускников Новгородской области в 2005 году : учебно-метод. пособие для учителей и школьников / под ред. , , . — Великий Новгород: НовГУ имени Ярослава Мудрого, 2005. — С. 32–73.

 

Оглавление

 

Предисловие ………………………………………………………………….3

 

Анализ типичных ошибок, допускаемых выпускниками

при выполнении заданий с развернутой формой ответа

на едином государственном экзамене по математике ……………………5

 

Общие рекомендации методического плана по подготовке

учащихся к единому государственному экзамену по математике …….46

Приложения …………………………………………………………………82
Список литературы …………………………………………………………90

 

 

 

Учебное издание

 

Кондрушенко Елена Михайловна

 

Типичные ошибки, допускаемые выпускниками

 Великого Новгорода и Новгородской области

 на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения

 

 

 

Редактор и ответственный за выпуск

 

Лицензия ИД г.

Подписано в печать 08.05.2008. Гарнитура «Times New Roman».

Формат 60х90/16. Усл. печ. л. 5,75. Тираж 100 экз. Заказ № 000.

 

Отпечатано в МОУ ПКС «Институт образовательного

маркетинга и кадровых ресурсов»

173000, Великий Новгород, ул. Черемнова-Конюхова, д. 7

Тел. 66-57-32. Адрес электронной почты