Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 7 )

Значит, . Тангенс угла между прямой  и плоскостью  равен .

2) Найдем теперь синус угла между прямой , где  — середина , и плоскостью .

Пусть  — основание перпендикуляра, опущенного из точки  на плоскость . Тогда  и  — наклонные к плоскости , причем . Тогда их проекции  и  также равны, то есть точка , лежащая в плоскости , равноудалена от точек  и . Значит, она лежит на серединном перпендикуляре к . Но в , поэтому , где  — середина .  — искомый.

В ,  — середина гипотенузы , тогда

.

В  — середина гипотенузы , значит, .

В .

Тогда .

В

Значит,  Синус угла между прямой  и плоскостью  равен .

3) Найдем тангенс угла между прямыми  и .

Прямые  и  — скрещивающиеся, так как  лежит в плоскости , а прямая  пересекает плоскость  в точке , не лежащей на прямой . Так как  и , то угол между скрещивающимися прямыми  и  равен углу между пересекающимися прямыми  и .

В  — средняя линия, так как  — середина  и , поэтому .

В .

Значит, .

В  — медиана, а значит, и высота, то есть . В . Значит,

.

Тангенс угла между прямыми  и  равен .

 

Стереометрические задачи типа С единого экзамена можно было, как впрочем, и все другие, решить разными способами. Важно, чтобы при решении не было допущено логических и математических ошибок. На примере двух последних из сформулированных выше стереометрических задач покажем применение векторно-координатного метода при их решении. Заметим, что использование векторов и координат существенно облегчает вычислительную часть решения. Однако лишь единицы из приступивших к задачам С4 прибегли к соответствующей теории, изучаемой в курсе «Стереометрия» в обязательном порядке. Это свидетельствует о недостаточном внимании учителей и самих учащихся к теме «Координаты и векторы в пространстве».

Решение задачи 4:

Рис. 2

Первоначально, также как и в предыдущем решении, доказывается, что  — правильная четырехугольная пирамида, вписанная в сферу радиуса  с центром ,  — высота этой пирамиды, . Кроме того, .

Введем систему координат следующим образом:  примем за начало координат,  — за единичный вектор по оси ,  — за единичный вектор по оси ,  — за единичный вектор по оси . Тогда вершины пирамиды имеют следующие координаты: , , , , . Точка  — середина , поэтому .  (из координат конца вектора вычитаем соответствующие координаты начала). Так как , то . Итак, косинус угла между прямыми  и  равен .