Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 16 )

Под выражениями в математике понимается любая конечная совокупность символов математического алфавита. Понятие «выражение» включает в себя все изучаемые в школе выражения, то есть это и просто числа или буквы, и действия над числами, и формулы, и уравнения, и неравенства. Различные выражения в зависимости от определенных условий получили специальные названия. Соподчиненность выражений можно изобразить в виде следующей классификационной схемы.

 

 

В приведенной схеме справа рассматриваются выражения с одной переменной. Аналогично можно рассматривать выражения с двумя переменными. Тогда речь пойдет о функции двух переменных и двухместном предикате и т. д.

В школьном курсе математики термином «числовое выражение» обозначают по приведенной выше схеме выражение без переменной и без знака отношения, термином «буквенное выражение» — выражение с переменной или переменными без знака отношения. Когда хотят подчеркнуть, что исследованию подлежит зависимость значения выражения от значений переменной или переменных, то используют термин «функция» и специальную форму записи в виде формулы (например,  и т. д.). Чтобы учащиеся не считали формулу, задающую функцию одной переменной, уравнением с двумя переменными, в текстах задач делаются специальные оговорки. Однако лучше все-таки для функций использовать обозначения  и т. д.

Поскольку в школьных курсах алгебры и алгебры и начал анализа мы имеем дело с разными видами выражений, то схема изучения ведущих понятий каждой линии одинакова, и в изучаемом по каждой линии материале есть принципиально важные общие моменты, которым следует уделять особое внимание. Изучение ведущих понятий идет по возрастающей спирали. Сначала осуществляется пропедевтика понятия: учащиеся знакомятся с ведущим понятием и некоторыми сопутствующими ему понятиями на наглядно-интуитивном уровне через решение простейших задач. Затем выстраивается пропедевтический курс, в котором дается определение ведущего понятия линии исторически более раннее (например, функция определяется как зависимость значений одной переменной величины от другой) и, безусловно, адаптированное на определенную возрастную группу; определяются также некоторые сопутствующие понятия и решаются задачи основных видов. И наконец, как правило, в старшей школе, даются строгие формальные определения ведущего и сопутствующих понятий, формулируется и доказывается ряд свойств, строго обосновываются решения основных видов задач.

Осуществляя тематическое, итоговое и заключительное повторение, необходимо взглянуть на весь ранее изученный материал именно с позиции этих расширенных, углубленных, строгих (насколько это возможно в школе) математических знаний. Так, например, необходимо в 11-м классе провести исследование свойств всех изученных ранее элементарных функций с помощью аппарата производной, предварительно убедив на конкретных примерах учащихся в том, что построение графиков функций по точкам без предварительного исследования свойств функции зачастую приводит к замене графика данной функции, графиком другой, заданной построенным графиком.

К важнейшим общим и обязательным для рассмотрения вопросам в каждой линии относятся приведенные ниже.

1. Нахождение числового множества, на котором выражение данного вида имеет смысл: область допустимых значений для выражений с переменной без знака отношения; область определения функции; область определения уравнения; область определения неравенства.

2. Преобразование выражений на основе соответствующих законов, свойств. Если мы преобразуем выражение без знака отношения, то говорим о тождественных преобразованиях, если со знаком отношения — то о равносильных преобразованиях. В случае, когда производятся тождественные преобразования одной из частей выражения со знаком отношения, соответствующий предикат считается неизменным. Например, уравнения  и  считаются не просто равносильными, а одинаковыми.

3. Выделение преобразований, которые не являются тождественными или равносильными. Применение таких преобразований может привести к изменению области определения выражения и к появлению посторонних решений, либо к потере решений в уравнениях и неравенствах. Разработка положений, которых надо придерживаться, если такие преобразования пришлось выполнять.

4. Демонстрация взаимосвязи между различными видами выражений и ее использование при решении задач. Например, использование свойств функций при решении уравнений или неравенств и, в свою очередь, решение неравенств при нахождении области определения некоторых функций и уравнений при нахождении нулей функции.

Скрупулезное прослеживание указанных моментов при изучении различных видов выражений поможет учащимся осознать единство изучаемого материала и получить представление о системе математических знаний.

Подготовка учащихся к единому экзамену должна проводиться целенаправленно и систематически. Начинать ее следует как можно раньше. Прорешивание вариантов единого экзамена лучше отложить на конец 11-го класса (март, апрель). В это же время можно провести школьные репетиции с выставлением оценок и разбором ошибок. Условия, в которых будут проходить репетиции, должны быть максимально приближены к экзаменационным, оценки — более строгими. До этого времени следует осуществлять повторение по содержательным линиям, раскрывая взаимосвязь изученного материала, углубляя и расширяя знания учащихся по каждой линии, выделяя общие моменты и особо проблемные вопросы.

Так, необходимо начать с рассмотрения числовых выражений и вычисления их значений наиболее рациональными способами с использованием уже изученных законов, свойств, тождеств. Для записи чисел в этих выражениях использовать самые разнообразные формы. Важно вспомнить с учащимися понятие «бесконечная десятичная периодическая дробь» и переход от записи рационального числа в такой форме к записи в виде , где  с помощью понятия бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формулы для вычисления суммы всех ее членов. Например,

. Подчеркнуть, что , иначе 0,7(53) ≠ 0,753 ≠ 0,75353. То есть, заменяя бесконечную периодическую дробь при нахождении значения какого-либо выражения ее десятичными приближениями, происходит замена и самого выражения другим, ему неравным. Для закрепления умения записывать бесконечную десятичную дробь в виде , , следует предложить учащимся ряд заданий на осуществление указанного умения. Среди предложенных для перевода к виду  () периодических десятичных дробей должны быть дроби, у которых целая часть отлична от нуля, и отрицательные бесконечные периодические дроби (например, 25,36(14); –5,8(125)). После этого перейти к заданиям на вычисление значений числовых выражений, в которых есть различные формы записи рациональных чисел, повторяя при их выполнении правила и законы действий над числами, тождества и формулы.

Пример. Вычислить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

При решении полезно обсуждать различные способы вычисления. Особое внимание требуется уделить приемам устного вычисления значения числового выражения (например, приемам умножения на  и т. д.), применению формул сокращенного умножения, свойств степеней, корня
-й степени (например, вычислить устно

 и т. д.).

Главная цель выполнения примеров а), б) — показать, что недопустима замена бесконечной десятичной периодической дроби ее приближениями, и напомнить, что бесконечная десятичная непериодическая дробь (например, ) — это иррациональное число. Работать с иррациональными числами в таком виде невозможно, поэтому для их записи используют другие формы ( и т. д.). Нелишне будет сообщить, что действительные числа подразделяются также на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами. Например, . Трансцендентными называют неалгебраические числа. Так как каждое рациональное число  является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами , то все трансцендентные числа иррациональны. Примерами трансцендентных чисел являются  и т. д.