Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 6 )

Как видим, основными объектами во всех задачах являются четырехугольные пирамиды, наибольшего объема, вписанные в сферу. Меняются количественные характеристики (радиус сферы и расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды), расположение выбираемых на ребрах пирамид точек (в одних задачах точка  выбирается на боковом ребре, в других — на ребре основания) и требование. Поэтому рассмотрим решение задачи 2, дополнив ее требованиями:

2) Найдите синус угла между прямой  и плоскостью , где  — центр сечения сферы плоскостью основания пирамиды, а  — середина ребра ;

3) Найдите тангенс угла между прямыми  и .

Решение:

Пусть  — центр сферы,  — радиус сферы,  — центр сечения сферы плоскостью ,  — радиус этого сечения, . По свойству сечений сферы плоскостью , тогда  и .  — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса ,  и  — его диагонали, поэтому . Высота пирамиды  равна расстоянию от точки , лежащей на сфере, до плоскости , то есть  в том случае, когда точки  и  лежат по одну сторону от плоскости  сечения или  в том случае, когда точки  и  лежат по разные стороны от плоскости .

,

где  – угол между диагоналями  и  четырехугольника , . Значение объема пирамиды будет наибольшим, когда  принимают наибольшие значения и . Тогда  и  — взаимно перпендикулярные диаметры, то есть  — квадрат, вписанный в окружность радиуса , точка  проектируется в центр  этого квадрата, причем точки  и  лежат по одну сторону от плоскости . Значит,  — правильная четырехугольная пирамида, вписанная в сферу, объем которой .

1) Найдем тангенс угла между прямой  и плоскостью, проходящей через прямую  параллельно .

В  проведем среднюю линию , где , , тогда . Прямая  не лежит в плоскости  и параллельна прямой , лежащей в этой плоскости. Значит, . Найдем тангенс угла между прямой , содержащей высоту пирамиды, и плоскостью , проходящей через прямую  параллельно прямой . Обозначим точку пересечения  и  через . , так как  и  и  пересекаются. . Тогда  и любая плоскость, содержащая , перпендикулярна плоскости , то есть . По свойству взаимно перпендикулярных плоскостей перпендикуляр, опущенный из точки  на линию пересечения  плоскостей  и , будет и перпендикуляром к плоскости . Значит,  — искомый.

В  .