Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 2 )

9) неверное использование формул сокращенного умножения, формул тригонометрии и других (например, «», «»);

10) неправильные вычисления.

В 2003 году в текстах вариантов ЕГЭ по математике было четыре задания типа С и одно из них геометрическое. При анализе выполнения выпускниками заданий этого типа были выявлены следующие типичные ошибки:

1) решение иррационального уравнения возведением в квадрат без учета условий, при которых это уравнение имеет решения, и без выполнения проверки, которая необходима в том случае, если эти условия не учитывались;

2) неверное проведение тождественных преобразований показательных и логарифмических выражений (например, «»);

3) построение графика функции, задаваемой формулой, полученной в результате выполнения арифметических операций над выражениями для элементарных функций, либо являющейся сложной, по точкам;

4) нахождение множества значений функции путем преобразования формулы, которой функция задается, без учета ее области определения;

5) отсутствие ссылок на непрерывность рассматриваемых функций, получаемых из элементарных с помощью арифметических операций, либо являющихся сложными функциями;

6) неправомерное использование для нахождения множества значений функции метода оценивания;

7) сведение решения неравенства вида  к системе

8) замена неравенства уравнением;

9) неверное использование свойств показательной, логарифмической и степенной функций;

10) неправильные вычисления.

Стереометрическая задача вызвала особые трудности у выпускников. К ее решению приступили не более 20 % выпускников, выполнявших задания типа С. Основные ошибки при решении стереометрической задачи были связаны с тем, что экзаменуемые:

а) неправильно понимают текст задачи;

б) неправильно представляют объекты, о которых идет речь в задаче, и их взаимное расположение;

в) не могут сделать наглядный и правильный чертеж;

г) не знают ряд основных определений, свойств изученных фигур, формул для вычисления ряда характеристик;

д) не обосновывают решение;

г) допускают вычислительные ошибки.

В 2004 году тексты вариантов ЕГЭ содержали четыре задачи типа С, из которых одна была стереометрической. При анализе решений были выявлены типичные ошибки, возникающие из-за того, что выпускники:

1) при решении системы, одно из уравнений которой иррациональное, возводят обе части этого уравнения в квадрат и в дальнейшем не делают проверку найденных решений системы;

2) неверно проводят преобразования иррациональных, показательных и логарифмических выражений (например, «, »);

3) не находят область определения функции в текстовых задачах на нахождение наибольших и наименьших значений величин;

4) делают необоснованные выводы о монотонности функции и наибольшее (или наименьшее) значения функции выбирают из значений функции на концах отрезка;

5) опускают этап сравнения иррациональных чисел (например, выпускник нашел значения функции на концах отрезка и в точке экстремума:    — и далее пишет, что  наибольшее);

6) неверно находят производные функций, особенно сложных;

7) допускают вычислительные ошибки и ошибки при преобразовании числовых выражений;

8) делят или умножают обе части неравенства на выражение с переменной, которое может принимать различные по знаку значения при различных значениях переменной из области определения неравенства;

9) неверно раскрывают знак модуля;

10) неверно решают простейшие неравенства, содержащие переменную под знаком модуля (например, «»).

Перейдем к детальному анализу ошибок, допущенных выпускниками при выполнении заданий типа С единого экзамена по математике в 2005 году. В 2005 году заданий с развернутой формой ответа было пять. Причем С1, С2 входили во вторую часть, С3, С4, С5 — в третью.

Задание С1 имело следующий вид:

1)         Найдите все значения , при которых ординаты точек графика функции  неотрицательны.

2)         Найдите все значения , при которых точки графика функции  лежат ниже соответствующих точек графика функции .

3)         Найдите все значения , при которых точки графика функции  лежат ниже соответствующих точек графика функции .

Решение задач сводится к решению неравенств. Продемонстрируем по одному из возможных решений.

Решение задачи 1. Так как ординаты точек графика функции  неотрицательны, то . Неравенство равносильно системе  которая в свою очередь распадается на две системы

или

Окончательно имеем или .

Ответ: .

Решение задачи 2. Для того чтобы точки графика функции  лежали ниже соответствующих точек графика функции , необходимо, чтобы выполнялось неравенство .

Решим это неравенство.

  

Так как  при любых  из области определения функции , то неравенство равносильно системе

 или .

Ответ: .

Решение задачи 3. Для того чтобы точки графика функции  лежали ниже соответствующих точек графика функции , необходимо, чтобы выполнялось неравенство .

Решим это неравенство.

  

 

Решим последнее неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию . Функция обращается в нуль при  или , то есть при  или  и претерпевает разрыв при .