Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 3 )

Окончательно, .

Ответ: .

При решении заданий С1 были допущены типичные ошибки:

1)     умножение обеих частей неравенства на выражение с переменной, которое может принимать разные по знаку значения при различных значениях переменной из области определения неравенства;

2)     сведение неравенства вида  к системе  или к системе

3)    замена неравенства уравнением;

4)     решение неравенства без учета области определения логарифмической функции;

5)     определение знака функции при значении , принадлежащем одному промежутку, и формальное чередование знаков на других промежутках при решении неравенства методом интервалов (например, «;

»);

6)     при графическом способе решения построение графиков сложных функций (например, ) по точкам;

7)    неверные вычисления.

 

В задании С2 требовалось решить уравнение. Примеры уравнений:

1) ;

2) ;

3) .

Решение первого уравнения:

,

,

.

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то уравнение имеет решения только при . В этом случае . Уравнение равносильно системе

или

или

Так как функция  является монотонно возрастающей, то , . Поэтому .

Ответ: .

Решение второго уравнения:

или

Система  решений не имеет. Поэтому  где .

Ответ: .

Решение третьего уравнения:

,

,

.

Так как , то , то есть .

, то есть .

Получим .

,

,

,

,

Ответ:

При решении задания С2 наиболее часто встречающиеся ошибки состояли в том, что выпускники:

1)     возводили в квадрат обе части уравнения и не делали проверку найденных решений;

2)     не могли сравнить число, записанное с помощью знака логарифма, с натуральным числом;

3)     неверно раскрывали знак модуля;

4)     не возвращались к основной переменной при решении уравнения методом замены переменной;

5)     неверно находили область определения уравнения;

6)     неверно решали простейшие тригонометрические уравнения;

7)     неверно использовали основные тождества и свойства (например, «», «», «»);

8)     неверно выполняли вычисления.

 

Задания С3 были следующего содержания:

1)         Найдите все положительные значения , при каждом из которых наименьшее из двух чисел  и  больше .

2)         Найдите все ненулевые значения , при каждом из которых наибольшее из двух чисел  и  не превосходит .

3)         Найдите все значения , большие , при каждом из которых наименьшее из двух чисел  и  не меньше .

Решение задачи 1:

Так как наименьшее из двух чисел  и  больше , то и наибольшее из этих чисел больше . Кроме того, . Значит, для ответа на вопрос надо решить систему