Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 24 )

 

 

Далее уравнения с параметрами появляются в 8-м и 10-м классах ( и т. д.). Дается общий план решения таких уравнений. Например, решение квадратных уравнений может быть представлено в виде схемы, приведенной ниже.

 

 

Смысл решения уравнения (неравенства) с параметром состоит в том, что, имея бесконечное множество уравнений (неравенств) данного вида, следует распределить их по группам. В одну группу отнести уравнения, не имеющие решений, в другую — имеющие бесконечное множество решений, в каждую из остальных групп относят уравнения, имеющие одинаковое количество корней и общую форму их записи через параметры. Для того, чтобы учащиеся поняли это, надо предложить конкретные уравнения с параметром, попросить записать уравнения, получающиеся при различных значениях параметра и решить полученные уравнения. Значения параметра подобрать таким образом, чтобы получились уравнения, не имеющие решения; имеющие одно, два и т.д. решения; имеющие бесконечное множество решений; не имеющие смысла. В каждом из случаев обговорить вид уравнения и способ его решения. Затем перейти к решению этих уравнений в общем виде, то есть к решению уравнений с параметром.

Приведем примеры систем упражнений на решение уравнений с параметром, которые могут быть предложены учащимся.

Решить уравнения в зависимости от параметра .

I. 1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

II. 1) 2) 3)

4) 5)

Решение уравнений (неравенств) с параметром сводится, как правило, к решению совокупности уравнений (неравенств), получаемых из данного при наложении определенных ограничений на параметр. Поэтому весьма полезным приемом на этапе завершения решения уравнения (неравенства) с параметром является построение модели общих решений для правильной записи ответа. Суть этого приема раскроем на примере.

В зависимости от параметра а решите уравнение

Решение. Область определения уравнения х Î R, a Î R. Уравнение  распадается на две системы:

или

Решим первую систему.

При а – 1 = 0, а = 1 получим 0 · х = 3. Уравнение корней не имеет, а значит, и система решений не имеет. При а – 1 ¹ 0, а ¹ 1  будет решением системы, если , , , а – 1 > 0, а > 1. При а < 1 система решений не имеет.

Решим вторую систему.

При а + 1 = 0, а = –1 получим 0 · х = –3. Уравнение корней не имеет, а значит, и сама система решений не имеет. При а + 1 ¹ 0, а ¹ –1  будет решением системы, если , , , а > –1. При а < –1 система решений не имеет.

Изобразим найденные решения на модели.

 

II I -1 1 a

Ответ: при а Î  уравнение решений не имеет; при а Î  уравнение имеет единственное решение ; при а Î  уравнение имеет два решения , .

Решение заданий, в которых требуется указать число решений уравнения в зависимости от параметра а, существенно облегчает использование графиков функций, записанных в левой и правой частях уравнения. При этом уравнение предварительно следует записать так, чтобы в одной части была функция от параметра, а в другой — функция от рассматриваемой переменной. Приведем пример.

Указать число решений уравнения  в зависимости от параметра а.

Решение. При а = –2 уравнение смысла не имеет. При а ¹ –2 уравнение можно записать в виде ,  (*). Рассмотрим функцию , определенную при , и построим ее график (см. рис. ниже). Графиком функции  является прямая, параллельная оси ОХ. Число решений уравнения (*) — это число общих точек графиков функций  и . При , то есть , уравнение решений не имеет. При , то есть , уравнение имеет два решения. При , то есть  — одно решение. При уравнение решений не имеет.

 

Решение линейных неравенств с двумя параметрами a, b после рассмотрения значительного числа примеров можно представить в общем виде (см. схему  на с. 74), подчеркнув различия при решении линейных уравнений и неравенств (учащиеся часто формально переносят алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений на линейные и квадратные неравенства, что приводит к грубейшим ошибкам). Данная схема дается не для запоминания, так как для решения неравенств надо хорошо знать и уметь использовать их свойства, а для наглядного восприятия процесса решения неравенств и сопоставления его с процессом решения линейных уравнений. Сопоставление схемы на с. 70 и схемы на с. 74 позволяет сделать вывод о том, что процесс решения линейных неравенств значительно более емкий (выделяются случаи , , ). Решение неравенств требует внимательного изучения самого неравенства, определения знака коэффициента при переменной и использования соответствующего свойства.