Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 9 )

Более подробно остановимся на решении первой из записанных выше задач.

Решение:

Рассмотрим уравнение

(1)

(*)

Уравнение в системе является квадратным, поэтому число  различных корней этого уравнения, а значит, и системы равно или , или , или 0.

Рассмотрим уравнение

(2)

Функции  являются монотонно возрастающими, а функция  является монотонно убывающей. Поэтому уравнение  имеет не более одного решения. То есть число  различных корней этого уравнения равно или , или . Так как по условию , то при  левая часть этого уравнения отрицательна, а правая положительна. При достаточно больших  левая часть положительна, а правая отрицательна. Значит, , то есть уравнение имеет один корень.

По условию . Так как , то . Но по условию , а  равно или , или , или . Поэтому  равно или  (при ), или  (при ).

 

При  система (*) примет вид:

и будет иметь одно решение , что противоречит условию .

При  система (*) примет вид:

и будет иметь единственное решение . Значит,  и  удовлетворяют условию задачи.

Решим второе уравнение при . Уравнение примет вид:

.

Выше указывалось, что уравнение (2) имеет один корень. Подстановкой убеждаемся, что  является корнем уравнения .

Ответ: .

 

Трудности, возникшие у выпускников, приступивших к решению задач С5, были вызваны тем, что выпускники:

1) не понимают смысла решения уравнений с параметром и решают уравнения при конкретных произвольно выбранных значениях параметра;

2) стали решать каждое из данных уравнений в зависимости от параметра  и запутались;

3) используют неверные посылки при решении (например, кубическое уравнение всегда имеет три действительных корня);

4) очень вольно обращаются с построением графиков функций.

 

В 2006 году задания С1 имели следующий вид:

1) Решите уравнение .

2) Решите уравнение .

Решение задачи 1. Уравнение  равносильно системе  или

Решим полученную систему   

Решениями тригонометрического уравнения, принадлежащими промежутку [–1; 1], являются  при n = –1, x = 0 при n = 0,  при n = 1. При других значениях  решения тригонометрического уравнения не принадлежат промежутку [–1; 1].

Ответ: .

Решение задачи 2. Уравнение  равносильно системе  или

Решим полученную систему.

  

или   или

или

Первая из полученных систем решений не имеет. Решением второй является x = 0.

Ответ: x = 0.

 

При решении уравнений указанного вида наиболее часто встречающиеся ошибки состояли в том, что выпускники:

1) не учитывали область определения тождества , в результате чего получали посторонние корни;

2) допускали ошибки при решении простейшего тригонометрического уравнения;

3) указав отдельно область определения уравнения, забывали из найденных решений тригонометрического или показательного уравнений выбрать те, которые ей принадлежат.

 

Задания С2 в 2006 году были следующего содержания:

1. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций  и  меньше, чем 0,5.

2. Найдите все значения х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций  и  меньше, чем 0,6.

Решение задания 1. Так как графики функций  и  пересекаются (функция  монотонно возрастает, функция  постоянная и ), то для ответа на вопрос надо решить неравенство . Решим это неравенство.