Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 26 )

Отвечая на вопрос второго задания и анализируя причину ошибки, учащиеся убеждаются в том, что возведение обеих частей уравнения в четную степень не является равносильным преобразованием и что при решении иррациональных уравнений возведением в четную степень могут появиться посторонние корни, входящие в область определения уравнения, но не обращающие исходное уравнение в верное числовое равенство.

Использование достаточного количества подобных заданий позволит добиться от учащихся осознанного подхода к решению уравнений данных видов и сформировать у них потребность в самоконтроле.

Четвертый прием — рассмотрение различных способов решения задач определенного вида и выделение из них универсального. Например, неравенство  можно решить либо переходя к неравенству , либо методом интервалов, либо используя свойства квадратичной функции . Универсальным методом решения неравенств является метод интервалов, поэтому именно этому методу следует уделить большее внимание и возвращаться к нему по мере расширения класса изученных функций.

Пятый прием — использование комплексных упражнений в ходе обобщающего и заключительного повторения. Под комплексным упражнением понимается упражнение, при решении которого используются знания, полученные при изучении различных содержательных линий школьного курса математики, и тем самым раскрываются внутренние взаимосвязи между ними, общее в решении различных по требованию задач.

Приведем пример комплексного упражнения на отработку с учащимися умений, связанных с решением уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, построением графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, использованием графического способа решения уравнений и неравенств.

Дано выражение . Выполните следующие задания:

1. Освободитесь от знака модуля в выражении ,

2. Постройте график функции

3. Решите уравнения:

, где  — параметр.

4. Решите неравенства:

, где  — параметр.

Шестой прием — проведение лабораторных и практических работ на уроках алгебры и начал анализа. Это могут быть задания на прочтение свойств функции по графику или, наоборот, изображение графика функции с заданными свойствами. Интересны задания, в которых требуется установить промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции по данному графику ее производной функции.

Перечень приемов способствующих осознанию, углублению, систематизации знаний и умений, развитию приемов мыслительной деятельности и навыков самоконтроля можно было бы продолжить. У каждого учителя математики есть свой методический арсенал. Следует помнить, что исправление ошибок, допускаемых учащимися, требует большей затраты сил и времени, чем работа по их предупреждению.

Особые трудности у выпускников школ возникают при решении стереометрических задач. Эти трудности обусловлены рядом причин. Вот лишь некоторые из них:

1) недостаточный запас базовых пространственных представлений;

2) неумение использовать изученную в стереометрии теорию для корректировки имеющихся пространственных представлений и создания новых;

3) нежелание проводить логическое обоснование взаимного расположения фигур, о которых идет речь в задаче из-за кажущейся очевидности этого расположения (срабатывают стереотипы), что приводит к неправильному решению;

4) непонимание законов, по которым строится чертеж к стереометрической задаче, и роли чертежа в стереометрии.

Учащиеся должны усвоить, что прежде, чем изображать, допустим, линейный угол двугранного угла, надо доказать, что им является именно тот угол, который хочется изобразить. Есть определенные алгоритмы, по которым следует действовать для того, чтобы доказать что:

1) прямая, не лежащая в плоскости, параллельна плоскости;

2) две плоскости параллельны;

3) прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости;

4) две плоскости перпендикулярны;

5) прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна прямой, пересекающей плоскость под острым углом;

6) данный угол является углом между прямой, пересекающей плоскость, и плоскостью;

7) данный угол является линейным углом двугранного угла;

8) данный угол равен углу между скрещивающимися прямыми;

9) данное расстояние является расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Эти алгоритмы обусловлены теми определениями и теоремами, которые изучались в 10-м классе.

Например, для того, чтобы доказать, что данный угол является линейным углом двугранного угла, достаточно указать, что каждая из его сторон перпендикулярна ребру двугранного угла.

Аналогичные алгоритмы существуют и для построения:

1) через данную точку, не лежащую в плоскости, прямой, параллельной плоскости;

2) через данную точку, не лежащую в данной плоскости, плоскости, параллельной данной;

3) через данную точку прямой, перпендикулярной данной плоскости;

4) через данную точку (прямую) плоскости, перпендикулярной данной плоскости;

5) а) через данную точку в плоскости прямой, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной данной прямой, пересекающей плоскость под острым углом;

б) через данную точку вне плоскости прямой, пересекающей эту плоскость под острым углом и перпендикулярной к данной прямой в плоскости;

6) угла между прямой и плоскостью;

7) линейного угла двугранного угла;

8) угла между скрещивающимися прямыми;

9) общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

Все это так называемые задачи на воображаемое построение. Например, для того чтобы построить линейный угол двугранного угла, достаточно:

а) либо в данной точке ребра двугранного угла восстановить в его гранях перпендикуляры к ребру двугранного угла;

б) либо из какой-либо точки грани двугранного угла опустить перпендикуляр на его другую грань; из точки пересечения этого перпендикуляра со второй гранью опустить перпендикуляр на ребро двугранного угла, полученную на ребре точку соединить с той, из которой опускали перпендикуляр на грань («работает» теорема о трех перпендикулярах).

Указанные выше элементарные задачи на доказательство и построение являются составной частью решения более сложных задач, в том числе на комбинации многогранников и круглых тел. Решение выделенных задач на конкретных многогранниках претерпевает некоторые изменения, обусловленные свойствами рассматриваемого многогранника. Например, при решении задачи: «Построить угол между ребром AA1 и плоскостью основания ABCD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, в котором Ð A1AB = Ð A1AD = α и ABCD — ромб» следует из вершины А1 опустить перпендикуляр А1H на плоскость АВС (задача 3), тогда Ð A1AH и будет искомым (задача 6). Однако проблема в том, что основание перпендикуляра — точка H не является произвольной. Она лежит на диагонали АС ромба ABCD.

Поэтому указанные элементарные задачи необходимо прорешать на различных видах конфигураций и многогранников, наиболее часто встречающихся в задачном материале.

Прежде чем решать сформулированную выше задачу о параллелепипеде, учащимся можно предложить следующую: «Даны при луча АВ, АС, АD, луч АС не лежит в плоскости АВD, Ð СAB = Ð СAD = α. Где будет лежать основание перпендикуляра, опущенного из точки С на плоскость АВD?».

Решение. Пусть О — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на плоскость АВD. Проведем ОК ^ АD, ОМ ^ АВ. Тогда по теореме о трех перпендикулярах СК ^ АD и СМ ^ АВ.

∆ АСМ = ∆ АСК, так как

ÐСКA = ÐСМA = 90º, Ð СAМ = ÐСAК = α,

АС — общая. Значит, АК = АМ, СК = СМ.

∆ СМО = ∆ СКО, так как ÐСОК = Ð СОМ = 90º, СК = СМ, СО — общая. Значит, КО = МО.

∆ АМО = ∆ АКО, так как Ð AМО = Ð AКО = 90º, АМ = АК, МО = ОК по доказанному. Следовательно Ð МAО = Ð КAО и АО — биссектриса угла ВАD. Точка О — основание перпендикуляра — лежит на биссектрисе Ð ВАD.

Грамотная подборка задачного материала как к урокам стереометрии, так и на этапе повторения — определяющий фактор качественного усвоения учащимися геометрического материала. Другими такими факторами являются: требование знания теоретического материала (опрос у доски, геометрические диктанты, устные зачеты и т. д.) и требование обоснования каждого утверждения при решении задач.

В геометрических задачах типа С единого государственного экзамена по математике часто предлагаются задачи на комбинацию многогранников со сферами. В этих задачах важнейшим моментом является определение центра сферы, описанной около многогранника или вписанной в многогранник. Поэтому полезно будет при подготовке к ЕГЭ обратить внимание на следующие задачи: