Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 12 )

Решим теперь вторую систему неравенств.

.

Итак,  являются решениями неравенства. Пусть x = a × 4a , тогда 143 – 3a × 4a+1,5 + a2 × 16a = (a × 4a)2 – 24(a × 4a) + 144 – 1 =
= (x2 – 24x + 144) – 1 = (x – 12)2 –1. По условию и число х, и число (x – 12)2 –1 являются решениями исходного неравенства, то есть принадлежат множеству .

Рассмотрим функцию y = (x – 12)2 – 1. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, А (12; –1) — вершина параболы, Е(у) = [–1; + ¥).

Если , то у ³ у(–1) = 168, то есть у Ï . Если , то –1 = у(12) < у < y(11,5) = y(12,5) = –0,75, то есть у Ï . Если х = 12, то у = –1, то есть и число х, и число у являются решениями исходного неравенства.

Итак, число а удовлетворяет условию задачи, только если х = a × 4a = 12. Если а = 1,5, то a × 4a = 1,5 × 4 · 2 = 12. Других корней нет, так как если а < 0, то a × 4a < 0, а при возрастании а ³ 0 возрастают множители а и a × 4a.

Ответ: а = 1,5.

Решение задачи 2.

Решим логарифмическое неравенство .

или

Выполним решение первой из систем неравенств.

или .

 

Решая вторую систему неравенств, получим

 

Система решений не имеет, так как при х < 0 (2х – 5)(х – 7) > 0.

Итак, решением логарифмического неравенства будет любое .

Пусть х = . Тогда х + 8 = , . Значит, .

По условию числа х и  являются решениями исходного неравенства, то есть принадлежат множеству . Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, А (2; 7) — вершина параболы. Значит,
Е(у) = (–; 7]. Пересечением множества (–; 7] со множеством  является множество .

 в том случае, если

; ;

; ;

; или ;

; ;

; .

Но х должно принадлежать множеству , а его пере­сечение с найденными множествами пусто (, , , ).

у = 7, если х = 2, . Поэтому число а удовлетворяет условию задачи, только если х =  = 2.

Решим уравнение .

; ;

или

Решением первой системы является а = 5. Вторая система несовместна, так как дискриминант квадратного уравнения отрицателен.

Итак, только а = 5 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а = 5.

К решению заданий С5 приступило незначительное количество выпускников, правильное решение представили единицы. Решение логарифмического неравенства не вызвало у приступивших к решению особых затруднений. Трудности возникли при попытке связать между собой числа, являющиеся по тексту решениями неравенства (особенно в задаче второго из указанных выше видов), а также при дальнейшем исследовании. Значительная часть решавших значение параметра а находила подбором.

 

Рассмотрим основные виды задач С1–С5, которые предлагались на едином государственном экзамене по математике в 2007 году.

Задания С1 имели следующий вид:

1. Найдите точки максимума функции

.

2. Найдите точки минимума функции .

Решение задачи 1.

Функция f(x) определена при всех действительных х, в которых , , . При , .

Найдем точки максимума функции  при .