Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 17 )

Проблемы у учащихся вызывает сравнение иррациональных чисел. Поэтому сначала надо предложить несложные задачи на сравнение с использованием свойств соответствующих функций, затем выделить основные приемы сравнения и показать на примерах, как они применяются. Полезно повторить понятие «модуль числа», так как при сравнении отрицательных чисел сравнивают их модули.

Примеры задач.

1)   Между какими натуральными числами располагаются на числовой прямой числа ?

2)   Используя графики соответствующих функций, указать на числовой прямой точки с координатами.

а)

б)

3) Определить знак выражения:

а)

б)

4) Раскрыть знак модуля: .

5) Вычислить:

а)

б)

в)

Приемы сравнения положительных чисел,

не отмеченных на числовой прямой

Чтобы сравнить два положительных числа, надо:

1)   сравнить цифры, стоящие в соответствующих разрядах в десятичной записи данных чисел, и сделать вывод;

2)   записать числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями и сравнить;

3)   дополнить числа до единицы и сравнить (например, чтобы сравнить  и , можно поступить следующим образом: , . Так как , то  >  и  > );

4)   определить знак разности этих чисел и сделать вывод;

5)   оценить значения чисел и сделать вывод (например, чтобы
сравнить  и , можно поступить следующим образом: , то есть . , то есть . Значит,  > );

6)   представить числа в виде дробей с одинаковыми числителями (например, чтобы сравнить  и , можно поступить следующим образом: ;

.

 < , поэтому  > ,

то есть > );

7)   сравнить частное чисел с единицей и сделать вывод;

8)   последовательно выполнить над числами одинаковые обратимые операции, сравнить результаты и сделать вывод (например, чтобы сравнить  и , можно поступить следующим образом. Сравним 19 и , или 9 и , или 81 и 84. Так как 81 < 84 и сравниваемые числа положительны, то 9 < , 19 < ,  < );

9)   сравнить соответствующие десятичные приближения;

10)    комбинировать различные вышерассмотренные приемы.

Задач на нахождение числового множества, на котором выражение данного вида имеет смысл, также, как и задач на выполнение тождественных и равносильных преобразований выражений, в учебных пособиях много, только все они распределены по соответствующим темам. Поэтому при повторении следует дать их одним блоком, попутно решая другие методические проблемы.

Например:

I. 1. Найдите область допустимых значений выражения:

а) ; б) .

2. Найдите область определения функции:

а) ; б) .

Есть ли отличие между задачами 1 и 2, и если есть, то в чем оно?

3. Найдите область определения уравнения:

а) ; б) .

Укажите множество значений , при котором каждое из этих уравнений может иметь решения. Почему при решении этих уравнений непосредственным возведением соответственно во вторую и четвертую степень обязательным элементом решения является проверка? Почему при решении этих уравнений заменой их равносильной системой соответственно

и

не записываются неравенства  и ?

В чем суть решения уравнения или неравенства методом замены переменной? Какую замену при решении второй системы следует сделать? Решите уравнение а) двумя способами. Какой из способов оказался рациональнее в данном случае? Почему?

II. 1. Найдите значение выражения:

а) ;

б) ;

в) .

2. Упростите выражение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Решить уравнение:

а) ;

б)

Выполнялись ли в ходе решения уравнений преобразования, не являющиеся тождественными или равносильными? Ответ пояснить.

В процессе повторения материала следует обратить внимание учащихся на преобразования выражений, которые не являются тождественными или равносильными. Это можно сделать, используя специальные упражнения и анализируя ошибки учащихся, допускаемые на самостоятельных и контрольных работах.

Примеры.

1. Верны ли следующие равенства:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;