Типичные ошибки, допускаемые выпускниками Великого Новгорода и Новгородской области на ЕГЭ по математике, и пути их предупреждения (стр. 13 )

; ;

.

 при х = 0, , , но  не входит в область определения функции.

Точка максимума х = –0,3.

Ответ: –0,3.

Решение задачи 2 аналогично приведенному.

Основные ошибки, которые допускали выпускники:

1) не находили область определения заданной функции, что является обязательным шагом решения (в соответствии с критериями оценки в этом случае за решение выставлялось 0 баллов);

2) находили область определения функции, но забывали выбрать из найденных точек те, которые ей принадлежали;

3) неверно преобразовывали исходную функцию (например, для первой задачи получали );

4) неверно находили производную;

5) не преобразовав правую часть формулы, которой задается функция, искали производную, что серьезно затрудняло решение;

6) неверно определяли знак производной на промежутке, допуская ошибку при решении неравенств методом интервалов.

 

Требованием задач С2 в 2007 году было решить уравнение. Предлагались уравнения следующих видов:

1. .

2. .

Решение уравнения 1.

;

;

;

или ;

х = 2. ;

;

или

уравнение корней

не имеет

Ответ: 2; .

Решение уравнения 2.

;

  

  или

Первая система решений не имеет. Решим систему

.

Ответ: .

Как видим, решение уравнений вида 2 значительно сложнее для выпускников, чем уравнение вида 1. Решение тригонометрических уравнений постоянно вызывает определенные трудности у учащихся, что связано в первую очередь с наличием большого количества тригонометрических формул и фактов, подлежащих запоминанию. В заданиях вида 2 требовалось не только найти решения тригонометрического уравнения, но и выбрать из них те, которые входят в область определения логарифмического уравнения, для чего фактически требовалось решить систему тригонометрических неравенств. Аналитическое решение системы тригонометрических неравенств, даже и простейших, программой общеобразовательных классов не предусмотрено. К сожалению, не все решающие догадались использовать тригонометрический круг для выбора семейств решений уравнения, удовлетворяющих системе неравенств.

Таким образом, выпускники, которым достались варианты, содержащие уравнения вида 2, оказались в неравных условиях по сравнению с теми, кому достались варианты с уравнениями вида 1. Последним из тригонометрического материала при решении заданий типа С потребовалось только основное тригонометрическое тождество при выполнении С1 вида 2. Варианты были составлены так, что задание С1 вида 2 соседствовало с заданием С2 вида 1, а задание С1 вида 1 — с заданием С2 вида 2.

Типичные ошибки состояли в том, что выпускники:

1) не фиксировали область определения уравнения, в результате чего получали посторонние корни;

2) делили левую и правую части уравнения вида 1 на общий множитель, появляющийся в произведениях левой и правой частей, в результате чего теряли корень;

3) неверно использовали тригонометрические формулы (например, от уравнения  переходили к уравнению );

4) пытались найти область определения логарифмического уравнения отдельно и неверно решали систему тригонометрических неравенств вида

(решение таких систем — непосильная задача для подавляющего большинства выпускников школ, исключение составляют выпускники классов с углубленным изучением математики);

5) не замечали, что системы вида  и  равносильны, и терялись при решении неравенства вида .

 

Задания С3 в 2007 году были двух видов:

1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка
[1; 3) значение выражения 4х – 4 не равно значению выражения (а + 5) · 2х.

2. Найдите все значения а, для которых при каждом х из проме-
жутка [3; 9) значение выражения  не равно значению выражения
(а – 4) · .

Решение задания 1.

y   8 t1 0 2 t2 t -4 y = f(t)

Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда 4х – 4 ¹ (а + 5) · 2х или 22х – (а + 5) · 2х – 4 ¹ 0. Обозначим 2х = t, где t > 0, и рассмотрим функцию f(t) = t2 – (a + 5)t – 4. Надо найти все значения а, при которых уравнение f(t) = 0 не имеет корней на промежутке
[21; 23) = [2; 8).

График функции у = f(t) при t Î R есть парабола, ветви которой направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси ОХ, так как f(0) = –4. Поэтому квадратный трехчлен f(t) имеет два корня
t1 < 0 и t2 > 0. Если 0 < t < t2 , то f(t) < 0, а если t > t2 , то f(t) > 0, поэтому уравнение f(t) = 0 имеет корень на промежутке [2; 8) тогда и только тогда, когда  или  

, а Î [–5; 2,5).

Уравнение f(t) = 0 не имеет корней на промежутке [2; 8) для всех остальных значений а, то есть тогда и только тогда, когда а < –5 или а ³ 2,5.

Ответ: а Î (–; –5) [2,5; +).