Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 10 )

Приклад замкненої схеми з від’ємним зворотнім зв’язком. Перед суматором ставляться знаки + і – для різних входів. Для сигнального графу дуга ззворотнього зв’язку має мітку відємної функції.

Вимоги до якості:

1.  Бажана реакція на визначенні вхідні впливи

2.  Адекватні вихідні сигнали виконавчого пристрою

3.  Мала чутливість до змін параметрів і робастність

4.  Гарна компенсація збурень

Технічне проектування АСУ – сукупність засобів і методів проектування, організаційних прийомів, технічних засобів, людських ресурсів та їх кваліфікація для створення (синтезу) СУ.

Приклад. Боінг-777 з усією сучасною бортовою апаратурою був 2400 випровбуван за допомогою компютерного моделювання до того, як був побудований перший літак цієї серії.

Приклад

Системи управління широко використовуються в медицині для автоматичного введення препаратів в організм пацієнта. Такі системи можуть використовуватися для регулювання кровяного тиску, рівня цукру в крові, частоти серцевих скорочень...

СУ використовують моделі, які описують звязок між дозою введеного препарату і відповідним ефектом. Ці імплантовані в тіло системи розімкнені, тому що ще не побудовані мініатюрні датчики рівня глюкози в крові. Накраще рішення – запрограмований під певного паціента насос, який вводить в тіло інсулін на основі історії хвороби.

Змінна – це рівень глюкози в крові.

Критерій – підтримання рівня глюкози на заданому рівнні (можна тут розповісти про ресурс, тепло і дихання)

Система має містити в собі запрограмований генератор сигналу, мікродвигун з насосом, датчик...

Може бути розімкнена система з програмним генератором насосу двигуна або замкнена система.

Тема №2

Математичні моделі систем управління

1.  Математична модель СУ.

2.  Перетворення Лапласа та передавальна функція блоку СУ.

3.  Квантування лінійних моделей СУ. Z-перетвоення.

4.  Нелінійні моделі СУ та їх дослідження

5.  Імітаційні моделі СУ

1.  Математична модель СУ.

Одним з методів проектування СУ є метод математичного моделювання, тобто процес побудови та дослідження математичної моделі СУ.

Математична модель СУ – це сукупність систем рівнянь, нерівностей та інших математичних співвідношень, які описують зв’язки в блоках системі управління між вхідними і вихідними сигналами.

Загальна модель функціональних блоків СУ має вигляд:

, (1)

де - параметр часу, - вектор зовнішніх впливів на систему, - зміна, яка характеризує стану блоку, - змінна виходу блоку, - аналітичні функції своїх аргументів (розкладаються в ряд Тейлора), - параметри запізднення.

Дискретний аналог має вигляд:

(2).

Наприклад, модель «хижак-жертва» має вигляд:

,

- змінні стану системи, відповідно, кількість (концентрація на одиницю площі) жертв і хижаків.

Моделі діляться на лінійні та нелінійні в залежності від вигляду функцій правих частин.

Для лінійної моделі загальне представлення має наступний вигляд:

.

Диференційні рівняння, що описують динаміку системи, часто випливають з фізичних законів поведінки елементів системи.

Загальну СУ можна розглядати як один метаблок, для якого характерна модель виду (1) чи (2).

Алгоритм дослідження динаміки системи управління ТП можна представити наступним чином:

1.  Визначити систему і її компоненти

2.  Висунути необхідні припущення про функції блоків системи для їх моделювання

3.  Записати диференційні рівняння, які описують поведінку кожного блоку окрему та всієї системи

4.  Розв’язати рівняння відносно бажаних вихідних значень, використовуючи або ні перетворення Лапласа

5.  Проаналізувати розв’язки і допущення

6.  При необхідності провести повторний аналіз і синтез системи

В чому полягає різниця між змінною і параметром моделі системи? Значення змінних змінюються під впливом внутрішніх зв’язків системи, а параметри, якщо і змінюють своє значення, то лише під дією зовнішніх обставин.

Станом динамічної системи можна вважати найменших набір числових характеристик (змінних), які необхідно задати в певний час , щоб була можливість в рамках математичного опису (моделі) системи передбачати її поведінку в час .

Приклад

Система маса-пружина за другим законом Ньютона. Нехай, – ввідхилення пружити від нульового стану, r(t) – сила, яка діє на кінець підвішеної пружини. Крім того, є ще сила третя та упру гість.

За законом Ньютона можна записати рівновагу всіх сил, які діють на пружину:

,

де - коефіцієнту упру гості пружини, - коефіцієнт третя. Можна ввести додаткову змінну – швидкість пружини .

Тоді можна записати еквівалентну систему лінійних диференційних рівнянь:

,

отже

Аналог – електромережа з струмом r(t) і напругою . Є закони Кірхофа для струмів, за якими напруга в джерелі струму розподіляється на елементи мережі: опір R, конденсат С і катушку з індукцією L:

.

Розвязком системи пружини може бути рівняння:

Аналог цих двох систем можна побачити, якщо рівняння для пружини переписати як рівняння для швидкості її руху:

.

Тому змінні цих двох систем називають змінними аналогами, а відповідні системи чи моделі – подібними.

Чисельний приклад:

3 – упру гість пружини, 4 – коефіцієнт третя, 1 – маса пружини (множник перед другою похідною)

Приклад:

Різницеве рівняння

або

Можна записати так:

.

Тоді називається імпульсною передаточною функцією (оператором) і для загального вигляду квантованої моделі СУ має

.

№2

Існує узагальнене перетворення Лапласа, яке має вигляд

(3)

при умові існування цього невласного інтегралу.

При рівняння (3) є звичайним перетворенням Лапласа і має вигляд

Зворотне перетворення тоді можна записати наступним чином:

Розглянемо питання про доцільність перетворення Лапласа для дослідження ММСУ.

По-перше, ПЛ лінійне і можна зберігати знання про образи ПЛ основних функцій від часу, які застосовуються на практиці.

Приклад:

Нехай ми маємо функцію оригінал . Тоді її образ за Лапласом можна знайти за наступною процедурою

Таблиця деяких важливих перетворень Лапласу:

.