Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 14 )

ЦСУ грають все більш зростаючу роль в управлінні, в першу чергу, технологічними промисловими процесами, в яких застосовується комп’ютер та виконавчий пристрій.

Принципову схему ЦСУ можна представити наступним чином:

Комп’ютер містить в собі центральний процесор (ЦП), пристрій введення-виведення (ПВВ) та запам’ятовуючий пристрій (ЗП).

Перевагами ЦСУ вважають:

1)  підвищену точність вимірювань

2)  використаня цифрових сигналів (кодів)

3)  мала чутливість до шумів

4)  гнучкість алгоритмів управління

Перетворення сигналів у ЦАП та АЦП можна представити наступним наглядним способом:

1)  Квантувач АЦП

Рівняння квантувача має вигляд

2)  Екстраполятор ЦАП

0-го порядку

при

1-го порядку

.

Приклад ПФ екстраполятора 0-го порядку знаходится через представлення інтегрального блоку. Рівняння екстраполятора інтегрального блоку має вигляд:

,

Отже

Помилка (точність) квантування часто залежить від розрядності комп’ютера або АЦП.

Продовження прикладу

Перетворимо квантовану модель подвійного інтегратора.

Маємо

.

Звідки

.

.

Візьмемо, як і раніше, , . Тоді з таблиці видно, що , тому

Нелінійні математичні моделі систем управління.

Не можна розробити точної математичної моделі реальної системи. Зазвичай, підвищення точності моделі пов’язано з підвищенням її порядку. Однак, буває, що підвищення порядку не вносить точності в модель. Тоді слід вводити нелінійні елементи перетворення сигналів.

Рівняння минулого прикладу були лінійні.

Що таке лінійна система? Систему можна визначити як лінійну, якщо скористатися діючим на неї збуреним входом. Необхідною умовою лінійності системи є її відповідь на збурений сигнал:

-  принцип суперпозиції – сумарний сигнал входу дає сумарний сигнал виходу;

-  принцип гомогенності – якщо вхідний сигнал посилився в декілька раз, то і вихідний сигнал посилиться в стільки ж раз.

Навіть, система не є лінійною, але її можна вважати лінійною в околі деякої точки відносно малих збурень: .

Багато реальних систем нелінійні!

Наприклад, часто практична стійкість функціонування лінійних систем визначається як обмежена реакція (вихідний сигнал) на обмежений вхідний сигнал. Це значить, що вихід стійкої лінійної системи буде залишатися обмеженим при будь-якому обмеженому вхідному сигналі і будь-яких обмежених початкових умовах. Для нелінійних систем такого сказати не можна! Деякі нелінійні системи при одних вхідних діях можуть бути стійкими, але при інших втрачають стійкість (Філліпс, Харбор). Такова особливість світу, який нас оточує, бо всі реальні системи – нелінійні!

Простий приклад проблеми нелінійних систем можна продемонструвати проблемою взаємодії лектора з аудиторією через мікрофон.

На мікрофон діють інші вхідні сигнали + сигнал лектора, який проходячи через мікрофон – підсилювач – динамік, повертається зворотнім зв’язком, утворюючи «вічковий (петля вий) ефект». Якщо мікрофон помістити прямо проти динаміка або підсилити вхідний сигнал, то підсилюється пітливий ефект і система втрачає стійкість. Таким чином стійкість залежить від амплітуди (а можливо і частоти) вхідного сигналу. В лінійних системах такий ефект неможливий! Отже, система з мікрофоном – нелінійна.

Для нелінійних систем більшість методів дослідження лінійних систем не підходять. Крім того, не існує єдиного методу дослідження нелінійних систем.

Особливості нелінійних систем:

1.  Стійкість їх динаміки може залежить від вхідного сигналу і початкових станів;

2.  Існують граничні цикли, незатухаючі коливання, які не обов’язково синусоїдальні, де амплітуда може бути своя (внутрішня), яка не залежить від вхідних сигналів і початкових умов. Приклад – модель «хижак-жертва».

3.  Явище стрибкоподібного резонансу. При збільшені частоти вхідного сигналу, частота виходу при певному критичному значенні входу може різко мінятися.

4.  Множина станів рівноваги.

Якщо модель системи управління задана нелінійно, наприклад у вигляді

,

де, взагалі, та - вектори розмірності , а - вектор вхідних (управлінських) сигналів розмірності .

Тоді існує три методи дослідження такої моделі і можливість знайти потрібне управління нею:

1)  Метод лінеаризації

2)  Метод якісного дослідження

3)  Метод імітаційного моделювання

4)  Інші методи, але вони обмежені для застосування. Наприклад, існує метод функцій, які описують. Вони стосуються тільки автономних (стаціонарних з нульовим вхідним сигналом) систем з входом на нелінійний блок синусоїдального сигналу.

Для пояснення методу лінеаризації розглянемо характеристику нелінійного коефіцієнту підсилення з вхідним сигналом та вихідним сигналом . Розіб’ємо час дослідження системи на m проміжів рівної довжини , , , .Нехай, робоча (початкова) точка для моменту розгляду є . Проходить деякий час і точка змінюється на . Відношення приросту вихідного сигналу можна наближено оцінити як

, а отже, мати лінійний аналог функціонального блоку:

.

Якщо більш строго розкласти функцію в ряд Тейлора, тоді

І залишати тільки перший член в правій частині формули, тоді ми бачимо, що точність такої апроксимації залежить від кроку зміни вхідного значення , а також від крутизни (гладкості) нелінійного перетворення вхідного сигналу.

Тепер розглянемо нелінійну систему

,

в якій на кожнім проміжку замінемо модель лінійним аналогом для сигналів

та , де при синтезі СУ .

Отже,

,

А отже

Є лінійною системою, яку можна досліджувати протягом інтервалу часу , вважаючи до наступного інтервалу часу при цьому.

Приклади лінерарізації.

1) Модель вигляду

Можна представити в змінних стану