Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 29 )

Приклад:

.

Таблиця Рауса має вигляд:

Для стійкості системи НІД, щоб . Якщо два кореня знаходиться на уявній вісі і система знаходиться на границі стійкості.

В даному випадку

.

Тоді

.

Точка в фазовій площині типу центр.

Випадок 4. ХП має кратні корені на уявній вісі.

Якщо корені на уявній вісі прості, то кажуть, що система знаходиться на границі стійкості. В ній виникають незатухаючі синусоїдальні коливання. (Приклад – модель ХЖ). Якщо ж корені кратні, тоді реакція систему буди «той, яка розходиться», виду . В цьому випадку критерій РГ нестійкість виявити не може!

Приклад

ТР має вигляд

,

де .

Залежність стійкості СУ від параметрів.

Звичайно, при зміні параметрів, СУ може змінювати свою стійкість. Навіть, корені ХР можуть перебувати на границі зміни знаку.

Приклад. Стійкість системи 2-го порядку

Система другого порядку описується двома диференційними рівняннями першого порядку

Модель у вигляді сигнального графу має три контура: авто впливу , авто впливу і . При чому контури та не мають спільного вузла.

За формолою Мейсона характеристичне рівняння, корені якого є полюсами ПФ, має вигляд:

.

Помножимо визначник на і отримуємо наступне характеристичне рівняння:

.

Отже, для стійкості системи потрібно, щоб .

Приклад. Система 3-го порядку. Модель розповсюдження епідеміологічного захворювання

Система описує три групи населення – ті, що можуть захворіти, хворі та імунна. Ізольоване суспільство – це . Останні впливи – це, відповідно, швидкість появи нових людей першого і другого типів.

Характеристичне рівняння цієї системи має вигляд:

.

Корінь (полюс) з’являється через те, що є змінна є інтегралом від , але не впливає на інші змінні стану.

,

Де .

Отже, для того, щоб система була на границі стійкості потрібно, щоб і .

Доречи, уточнена модель розповсюдження захворювання (епідемії, паніки, інформації) має нелінійний характер:

Ефект нелінійної системи – це наявність декількох стійких стаціонарних точок.

Керованість системи – це існування такого необмеженого керування, яке б перевело систему з будь-якого початкового стану в будь-який заданий . Керованість лінійної системи

відповідає тому, що детермінант матриці не нуль!

5. Параметрична ідентифікація та прогнозування в моделях систем управління

Ідентифікація об’єкта управління – це процедура побудови моделі об’єкта управління (вивчення) по реалізації його вхідних і вихідних сигналів.

В загальному випадку вона включає в себе розв’язування наступних задач:

-  вибір класу математичної моделі;

-  вибір класу вхідних сигналів;

-  вибір критерію відповідності моделі і об’єкта;

-  вибір і реалізація алгоритмів розв’язування задачі оптимізації за обраним критерієм.

В вузькому сенсі, під ІОУ розуміють розв’язування задачі знаходження оптимальних параметрів об’єкта при вже фіксованій математичній моделі. Це так звана, параметрична ідентифікація.

Особливістю задач ІОУ є присутність збурень при вимірюванні вхідних і реалізації вихідного сигналу, що найчастіше робить задачу нетривіальною і не коректною.

Тобто, при вимірюваннях сигналів, формується набір (таблиця, статистика) спостережень:

, , де

- вихідний сигнал спостереження , - вхідний сигнал системи, що спостерігається в спостережені , - збурення спостереження , яке може розглядатися як множина випадкових величин з заданими імовірнісними характеристиками.

Вихідна величина спостережень може бути

1)  вихідним сигналом СУ, де - вхідний сигнал СУ, - внутрішні параметри СУ (параметри ПФ), - збурення в роботі блоків СУ. Тоді задачею ідентифікації сигналу і виступає задача параметричної ідентифікації моделі СУ; методами ПІ виступають метод максимальної вирогідності і МНК, які пов’язані між собою.

2)  реалізацією вхідного сигналу СУ, тоді - найчастіше розглядається як час, - параметри залежності сигналу від часу, - зовнішні збурення, які впливають на вхідний сигнал. Тоді задачею ідентифікації функції сигналу виступає задача прогнозування. Проміжок часу спостережень , називають базою прогнозу, а той період часу, на який слід спрогнозувати величину, горизонтом прогнозу. Основними методами виступають достатньо прості методи плинного середнього, імітації та апроксимації за допомогою МНК.

1) Найменш формалізований перший етап (структурна ідентифікація) – вибір класу моделей, в якості яких обирають систему різницевих, диференційних або інтегральних рівнянь, або їх комбінацію.

2) Спосіб отримання експериментальних даних є активний і пасивний експеримент.

При активному експерименті, на вхід об’єкта подаються заздалегідь визначенні і в якомусь сенсі оптимальні сигнали.

При пасивному експериментів – спостерігається входи і виходу об’єкта при його нормальному (природному) функціонуванні.

Збурення привносять невизначеність в задачі ІОУ. В таких випадках для розв’язування некоректної з математичної точки зору задачі, потрібно усунути невизначеність. Тобто, зробити задачу коректною, використовуючи математичну модель цих невизначеностей.

Сьогодні найбільш розвинуті стохастичні моделі невизначеності, прийняття яких веде до стохастичних моделей ОУ.

3) При параметричній ідентифікації найчастіше використовують середньоквадратичне відхилення, абсолютне відхилення або максимуму вірогідності (правдоподібності) в якості критерію близькості моделі і ОУ. Для знаходження екстремуму критерію близькості використовують різноманітні методи пошуку екстремуму: метод Ньютона-Канторовича, градієнтні методи, методи випадкового пошуку екстремуму тощо.