Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 25 )

має три внутрішні параметри , і один зовнішній сигнал .

При відсутності зворотнього зв’язку система має рівняння і ПФ .

Отже, чутливість такої системи до зміни параметра

тому що .

Для даної системи рівняння сигналу виходу має вид:

І розв’язок , який прямує до , а отже, помилка, що встановилася має значення:

при .

При наявності зворотнього зв’язку маємо і чутливість , тому що

.

Для даної системи рівняння сигналу виходу має вид:

І розв’язок , який прямує до , а отже, помилка, що встановилася має значення:

при , яка має бажане значення 0 при умові .

Приклад на цю ж структурну схему: вхід – кількість виробленого продукту, вихід – кількість (або дохід від) реалізації продаж. Коефіцієнт додатній, але, як і в першому випадку, є до кінця невизначеним, тому що невідомий попит на продукцію. Коефіцієнт , де - ціна на продукцію.

Приклад 2. Чутливість до зміни параметрів розв’язку задач оптимізації.

Нехай, виробництво деякого продукту слід підтримувати на певному рівні . Як відомо, це можна реалізувати зворотнім зв’язком з вхідним сигналом на регулятор різниці , де - реальна кількість продукції в час . І наприклад, бажана кількість продукції – це результат розв’язування задачі максимізації прибутку. Отже, нехай, прибуток визначається наступним рівнянням:

,

де - виробнича функція (ВФ), яка виражає степінь залежності кількості продукту від витрат виробничого фактору , - ціни одиниць, відповідно, продукту і фактору виробництва.

Однією з умов, які накладаються на ВФ, є умова опуклості вгору, яка виражає ситуацію уповільнення росту виробництва при рості витрат виробничого фактору.

При такій умові, існує бажана кількість витрат виробничого фактора, яка максимізує прибуток і знаходиться з рівняння:

.

Тому, вхідними сигналами в СУ зі зворотнім зв’язком можна вважати такі значення виробничого фактору і кількості продукту , які є підкоряються рівнянням:

.

Тепер продифірієнцюємо ці рівняння по параметрам цін . Будемо мати такі рівняння:

.

Або в матричній формі це можна записати так:

Ці рівняння при умові опуклості в гору виробничої функції, а саме має єдиний розв’язок.

Наприклад, для виробничої функції

і параметрів маємо наступні рівняння:

, .

, отже , .

Чутливість оптимальних показників до зміни ціни можна знайти з рівняння

.

Отже, , . Відносна чутливість

Висновки про чутливість:

Чутливість системи виражається як відношення % зміни ПФ системи до % зміни ПФ об’єкта (або його параметрів) при умові їх малості.

.

Чутливість розімкнутої системи =1.

Чутливість замкненої системи = .

Якщо ПФ представити наступним чином

,

Тоді чутливість до зміни параметра а представляється таким чином:

Властивість зменшувати вплив зміни параметрів шляхом введення зворотнього зв’язку – одне з позитивних якостей замкнених систем управління. Щоб досягти високої точності управління в розімкнених системах, необхідно прискіпливо підходити до вибору елементів передатчної функції .

Замкнені системи, навпаки, допускають певні варіації параметрів ПФ, оскільки їх вплив послаблюється в разів.

Ця властивість широко використовується в каналах зв’язку.

Але є і мінуси зворотнього зв’язку:

1. Число елементів і складність системи зростає

2. Зменшується коефіцієнт підсилення в системі

3. Може система втратити стійкість через нескінчену перехідну характеристику.

Однак, в більшості випадків переваги ЗЗ набагато більше варті ніж її недоліки.

3. Робастні системи управління – це СУ, які мають достатні надійність (стійкість), грубість (нечутливість, робастність), тобто при відносно «малих» змінах зовнішніх чи внутрішніх параметрів, її динаміка зберігається.

Синтез систем високої точності в умовах невизначеності є класичною проблемою теорії управління. Основи розв’язування цієї проблеми були закладені на початку 1930-х років та у зв’язку з аналізом чутливості систем зі зворотнім зв’язком.

Головна умова, аби СУ функціонувала в широкому діапазоні зміни невизначених параметрів.

Від робастної системи вимагається

1)  низька чутливість;

2)  збереження стійкості при зміні параметрів;

3)  задоволення вимог до перехідних характеристик в достатньо великому діапазоні змін параметрів.

Робастність характеризує чутливість системи до змін факторів, які не враховувалися на етапах аналізу і синтезу (наприклад, шум датчиків).

Система має протидіяти впливу цих факторів при виконанні задач, заради яких вона проектувалася.

Критеріями робастності системи можна вважати верхні межі змін вихідних сигналів відносно змін вхідних сигналів чи внутрішніх параметрів.

Робастні системи необхідні через те, що при проектуванні СУ не можуть бути завжди враховані всі наступні фактори:

1.  зміна параметрів при певних невизначених до кінця обставинах

2.  динамічні властивості, що не враховані в моделі