Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 24 )

,

Через можливість синтезувати СУ з потрібними якостями і функціональну простоту ПІД-регуляторов, вони стали популярними в схемам СУ.

Щоб застосувати такий регулятор в СУ конкретним об’єктом, слід підібрати три параметри:

1.  параметр пропорційності вхідного сигналу помилки

2.  параметр інтегрування вхідного сигналу помилки

3.  параметр диференціювання вхідного сигналу помилки.

ПІД-регулятор вносить в ПФ розімкненої системи один полюс в початку кординат і два нуля, які можна розмістити в будь-якому потрібному місці p-площини.

Перехідна характеристика Су та помилка, що встановилася

Одна з найбільш важливих характеристик СУ є перехідна характеристика як реакція системи (вихідного сигналу) на зміну вхідного сигналу, що представлена як функція від параметру часу.

Оскільки СУ має забезпечувати бажану реакцію, то ПХ часто приходиться налаштовувати на потрібний вигляд, що задовольняє поставленим вимогам.

Коли система розімкнена і її ПХ не задовольняє висунутим вимогам, то основне радикальне рішення – це замінити об’єкт.

Навпаки, в замкненій системі часто можна досягти бажаної реакції через настройку параметрів контура зі зворотнім зв’язком. Це ж, в принципі, можна зробити і в розімкненій системі, якщо додати до її структури перед ОУ коректуючий пристрій з функцією .

Помилка, що встановилася, - це різниця (відстань) між цільовим (бажаним) і реальним станами, яка встановлюється (залишається) після перехідного процесу, який викликаний зовнішнім збуренням чи зміною параметра.

В розімкненій системі вводиться функція помилки

.

В замкненій системі:

Для обчислення помилки, що встановилася використовується теорема про кінцевий елемент: .

Якщо сигнал йде як ступеневий , тоді

в розімкненій системі і

в замкненій системі.

Приклад, СУ з ПФ

.

(регулятор температури або рівня води...)

В розімкненій системі ПВ є .

В замкненій системі маємо

, де . Тоді,

, якщо .

Якщо ж тепер, в силу якихось факторів початкове значення зміниться на 10%, тобто , тоді в розімкненій системі з’явиться абсолютний приріст помилки, що встановилася - , а відносний приріст складе

, тобто, також 10%.

В замкненій системі, при такому ж приросту коефіцієнта:

( при від’ємному прирості К). Отже, абсолютна зміна ПВ буде , а відносне

.

2. Чутливість систем управління

Нехай, - множина бажаних значень виходу системи відносно цілей управління, - множина реальних значень, які ми отримаємо, впливаючи на системи вхідними сигналами .

Тоді задача управління (керування) полягає у такому цілеспрямованому впливі на системи , щоб виконувалася умова:

.

Як правило, динаміка СУ залежить від різноманітних факторів (параметрів в моделі СУ), таких як, наприклад,:

-  технічні параметри функціонування;

-  умови експлуатації обладнання, приміщень, роботи персоналу;

-  природні фактори

-  відсутність точної інформації про параметри.

-  тощо.

Визначимо технічні параметри (ТП) як певні кількісні значення, які визначають динаміку ОУ. Об’єкт управління завжди відчуває вплив змін параметрів чи середовища, яка б не була його природа.

Нехай, - вектор параметрів функціонування об’єкту. Отже, для цілей управління бажано визначати межі значень параметрів, для яких справедлива умова:

.

Такі значення параметрів складають множину, яка називається областю працездатності системи.

Реальні значення параметрів можна представити як суму двох складових:

,

де - розрахункове (оцінене) значення параметра, - відхилення реального значення від розрахункового значення (флуктуація параметра) – його збурення.

Флуктуації параметрів можуть вивести СУ з області працездатності. Тому оцінка того, як реагує СУ на ці флуктуації є важливою задачою в оцінці динаміки СУ. Величину, значення якої і символізує цю реакцію називають чутливістю системи до зміни параметра.

Під функцією чутливості визначають

- похідну першого порядку функцій виходу по параметру, якщо така похідна існує і її можна знайти;

- еластичність виходу системи від параметра – відсотковий аналог швидкості реакції (приклад – функція Кобба-Дугласа).

- різницеву модель похідної або еластичності системи

- функція чутливості в системі лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами, які описують модель СУ, з врахуванням перетворення Лапласа.

- - коефіцієнт, який часто застосовується у моделювання фінансових ризиків і дорівнює відношенню коваріації вихідного і вхідного сигналів СУ до дисперсії вхідного фактора.

В розімкнутій системі відхилення параметрів призводить до відхилення значень цільових (вихідних) змінних від визначених значень.

Замкнена система, навпаки, ніби «відчуває» цей вплив середовища (відхилення параметрів середовища) і намагається скорегувати вихідну інформацію. Основна важливість систем зі зворотнім зв’язком є їх реакція до змін внутрішніх чи зовнішніх параметрів її роботи. Базисом цього є властивість такої системи знижувати свою чутливість (поняття еластичності) до таких змін.

В розімкненій системі її функціонування та функція виходу описуються наступним чином:

.

Тоді

і маємо . Отже, чутливість становить

.

В замкненій системі з від’ємним зворотнім зв’язком її робота описується наступною функцією:

,

Де - відображення Лапласа сигналу «помилки», який поступає на регулятор, тобто сигналу .

Нехай, збурився вхідний сигнал, тоді

Нехай, за рахунок змін внутрішніх параметрів ПФ системи набула вигляду:

Тоді в розімкнутій системи ми маємо:

, тобто . Тоді

В замкненій:

Звідки

В реальних практичних умовах, коли можемо записати:

Тобто, коливання вихідної змінної в замкненій системі зменшується в раз.

Приклад 1. СУ зі зворотнім зв’язком: