Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 16 )

. або екологічну модель В. Вольтерри (1931р.) – модель “хижак-жертва”:

- змінні стану системи, відповідно, кількість (концентрація на одиницю площі) жертв і хижаків.

Області дослідження цієї моделі: .

Таку модель можна дослідити методом перетворення Лапласа або квантуванням, але при цьому слід лінеаризувати систему.

Лінеаризація моделі хижа-жертва дає наступну систему:

Ми розбиваємо час дослідження системи на певні проміжки часу з кроком . На кожному інтервалі розглядається наступна модель:

Характер фазових траєкторій двовимірної системи (точка М(х, у)) відображає загальні якісні риси поведінки системи. Направлення дотичної прямої задається кутом з тангенсом:

в деякій точці .

Особлива точка, коли невідомий кут при .

Така точка, зрозуміло, задає стаціонарний стан системи.

Модіфкація моделі Лотки-Вольтерри наступним чином:

(13)

Приводить вже до існування стійки СТ. Перевірити це пропонується студентам самостійно.

Ієрархія часу в системах управління.

В системах управління може спостерігається гетерогенність процесів в часі - різниця в швидкостях протікаючи в одній системі процесів. Наприклад у виробництві деяких хімічних препаратів:

1)швидкі процесу хімічної реакції проходять за ;

2)процеси роботи лінії виробництва (характерний час – хвилини, години);

3)організаційні процеси (характерний час – доба, місяць і більше);

Коли в одній системі проходять процеси з різними швидкостями, грає роль принцип вузького місця: загальна швидкість перетворення речовин у всьому ланцюгу реакцій визначається швидкістю найповільнішої реакції. Є аналогічний принцип в екології – принцип лімітуючого фактора! Це дозволяє спростити початкову модель, замінюючи рівняння дуже швидких реакцій з диференційних на алгебраїчні!

Найповільніший елемент є керуючим! Від його динаміки залежить динаміка всієї системи більше ніж від динаміки інших елементів. Впливаючи тільки на нього, можна впливати на всю систему!

Навіть практика показує, що розв’язування (дедукція) спрощених систем дає більш правдиву інформацію про біосистему ніж розв’язування повних систем.

Задача моделювання полягає у тому, щоб побудувати модель явища, яка містить можливу меншу кількість змінних і параметрів, й в той ж час відображали основні якісні властивості (тригери, коливання…)

Проблема редукції (спрощення) можна відносно легко розв’язати, коли існує ієрархія часу.

Це метод квазістаціонарних станів. (каталітичні реакції). Особливість – встановлення за відносно короткий час (протягом якого зміна концентрацій речовин не так замітна) режиму, коли різність швидкостей утворення та розходу проміжних зєднень стає малою відносно самих швидкостей. Це означає, що концентрація проміжних речовин практично не міняється.

В квазістаціонарному режимі диференційні рівняння швидкіх зміних можна замінити на алгебраїчні. Але такий розгляд невірний на початкових стадіях встановлення станів квазістаціонарності.

Розглянемо в якості прикладу деякий процес, який описується системою трьох рівнянь. Динамічні системи зі різношвикосними змінними можна описувати за допомогою наступної системи диференційних рівнянь:

.

(14)

Змінні є швидкими, - нормальні, а - повільні. Якщо для дослідження реальних процесів росту рослин нас цікавлять лише змінні , тоді систему (14) можна спростити (редукціонувати) до системи (15):

.

(15)

Змінні вважаються відомими функціями від часу, параметрів управління та інших змінних системи, які задаються вже не диференційними, а алгебраїчними рівняннями, а змінні - незмінними константами протягом всього часу дослідження . Тоді, будемо називати довжиною періоду дослідження.

Відомо, що розв’язок повної системи (), яка описується рівняннями (14) прямує до розв’язку виродженої (редукціонованої) системи (15) при , якщо (теорема Тихонова), якщо

А) - ізольований корінь рівняння (в його e-околі немає інших коренів)

Б) розв’язок - стійка особлива (стаціонарна) точка відповідного диференційного рівняння при всіх значеннях змінних

В) початкові умови потрапляють в області впливу стаціонарної точки

Г) розв’язки систем (1.1) та (1.2) єдині, а праві частині неперервні

Рівняння задає зв’язок між змінними (крива на фазовій площині), по якій йде рух системи.

Для вірності заміни повної системи на спрощену необхідно, щоб незалежно від початкових умов, зображуючя точка повної систему швидко переходила на криву . Це означає, що точка має потрапити в область притягування особливої точки рівняння , де y грає роль параметра.

Цю зміну можна розглядати як параметр управління.

Приклади нелінійних систем

1. Модель маятника.

Розглянемо коливання маятника: нитка довжиною L, на якій підвішена маса М. Момент, який діє на масу дорівнює:

.

Рівновага маятника відповідає значеню кута відхилення . Коли маятник відхиляється в незначних межах, рівняння можна лінеарізувати:

.

Тоді в СУ коливань - вхідний сигнал, а система – лінійна.

2. Cистема дихального хемостату

,

- кількість кисню в тканинах, - градієнт напруги кисню між тканинами і артеріальною кровю, - кількість крові в середовищі тканини, - артеріальний тиск, - опір судин.

3. Модель динаміки інноваційної фірми.

4. Модель руху з треттям, яке залежить від координат стану, вигляду

Можна представити в змінних стану

Побудуємо якобіани, що і будуть матрицями лінеарізованої системи біля точки рівноваги :