Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 11 )

По-друге, за допомогою перетворення Лапласа лінійні системи диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами можна перевести в системи алгебраїчних рівнянь. Тоді визначити реакцію системи на вхідний сигнал можна за допомогою наступних кроків:

1.  Отримати диференційні рівняння

2.  Перетворити за Лапласом

3.  Розв’язати отримані алгебраїчні рівняння відносно змінної, яка цікавить дослідника.

4.  Зворотне перетворення

Приклад

Нехай маємо наступну систему

Потрібно відповісти на питання: який вхід в блок має бути, щоб вихідний сигнал прагнув з часом до 10?

Перетворимо за Лапласом рівняння. Нехай, . Тоді,

Зворотне перетворення веде до функції виходу:

.

Отже, щоб досягти бажаного результату, потрібно, щоб або .

По-третє, За допомогою перетворення Лапласа можна побудувати передавальну функцію як кожного функціонального блоку СУ, так і всієї СУ, користуючись наступними визначенням і правилами

ПФ прямого зв’язку - це відношення функції-образу сигналу виходу до функції образу сигналу входу, тобто .

Так, для попереднього прикладу, ПФ блоку має вигляд:

ПФ паралельного впливу двох шляхів на сигнал є сумою ПФ кожного шляху.

ПФ послідовного впливу двох функціональних блоків є добутком передавальних функцій кожного блоку.

ПФ зворотного зв’язку в системі управління знаходиться за формулою, яку можна отримати користуючись наступними співвідношеннями:

В четвертих, за допомогою передавальної функції можна швидко відповісти на питання про якість поведінки системи управління і задати таки параметри, наприклад, керуючого блоку, щоб ці якості відповідали потрібним нормам.

Часткові випадки блоків зв’язків (ланок СУ):

Ланка	Рівняння	Передаточна функція
Підсилення
Інтегральна
Запізнення
Диференційне
Аперіодичне
Коливне

Важливі теореми про перетворення Лапласа

Назва	Оригінал	Образ
Похідна
Інтеграл
Запізнення
Добуток на експоненту
Початковий стан
Кінцевий стан
Згортка

При рівняння до 0 знаменника ПФ дає так зване характеристичне рівняння системи. Його розв’язки називаються полюсами і показують ті точки на комплексній площині s, де функція йде до нескінченності, а при рівняння до 0 чисельника ПФ (якщо це функція вийшла), то його корені називаються нулями і показують точки, де функція перетворюється в 0.

Приклад

Система маса-пружина за другим законом Ньютона. Нехай, – відхилення пружити від нульового стану, r(t) – сила, яка діє на кінець підвишеної пружини. Крім того, є ще сила третя та упру гість.

За законом Ньютона можна записати рівновагу всіх сил, які діють на пружину:

,

де - коефіцієнту упру гості пружини, - коефіцієнт третя. Можна ввести додаткову змінну – швидкість пружини .

Тоді можна записати еквівалентну систему лінійних диференційних рівнянь:

,

отже

Аналог – електромережа з струмом r(t) і напругою . Є закони Кірхофа для струмів, за якими напруга в джерелі струму розподіляється на елементи мережі: опір R, конденсат С і катушку з індукцією L:

.

Розвязком системи пружини може бути рівняння:

Аналог цих двох систем можна побачити, якщо рівняння для пружини переписати як рівняння для швидкості її руху:

.

Тому змінні цих двох систем називають змінними аналогами, а відповідні системи чи моделі – подібними.

Чисельний приклад:

3 – упру гість пружини, 4 – коефіцієнт третя, 1 – маса пружини (множник перед другою похідною).

Розглянемо рівняння руху пружини:

Перетворення Лапласу дає:

Якщо взяти , тоді будемо мати СУ з двома вхідними сигналами – силою і початковим станом:

.

Це приклад паралельного впливу двох входів на систему з одним виходом. Тому тут – сума двох ПФ.

Нехай, Якщо тоді . Крім того, через те, що , маємо

Розкладемо на прості дробі: