Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 15 )

Побудуємо якобіани, що і будуть матрицями лінеарізованої системи біля точки рівноваги :

Лінійна система буде мати вигляд

При цьому можна вважати, що

.

2) Модель динаміки рекламної компанії має вигляд

.

де збільшення потенційних покупців продукції відбувається з темпом , який залежить від грошей, виділених на рекламу , яка і визначається як функція управління. При умові існування в системі зворотнього зв’язку, вона визначається наступним чином:

, де

- дохід підприємства, в залежності від кількості реалізованої продукції, яка, в свою чергу залежить від кількості споживачів .

Модель можна представити у вигляді:

Тоді її лінійний аналог виглядає так:

Метод якісного дослідження полягає у знаходженні стаціонарних точок в фазовому просторі системи і потім дослідження властивостей поведінки системи біля цих точок, а саме дослідження динаміки збурень від стаціонарних станів.

Як перевірити, чи є така точка стійкою?

Почнемо для простоти спочатку з систем для 1 змінної стану:

Якщо - стаціонарна точка, тоді її стійкість за означенням полягає у наступному:

для якщо

Існує аналітичний метод визначення стійкості за Ляпуновим.

Він полягає у досліджені стійкості за означенням, якщо припустити, що система збурилася в початковий момент:

Тоді підставляючи в модель і, розкладаючи функцію правої частини в ряд Тейлора, маємо:

Якщо відкинути члени малості і більше (при цьому, зрозуміло, , маємо:

Тоді стійкість СТ за означенням залежить від знаку похідної, тому що розв’язком рівняння системи є функція. Якщо , тоді з функції розв’язку очевидно, що

,

Продовження прикладу

Якісний аналіз системи дає наступні три стаціонарні точки в фазовому просторі:

1) тривіальний стан

2) Стан насичення

3) Стан рівноваги .

Стійкість стану рівноваги визначається знаком виразу

.

.

Якщо, наприклад, , , , , , тоді в стані рівноваги при умові, що параметри моделі сталі

, а отже гроші на рекламу слід виділяти в кількості:

одиниці, що відповідає умові стійкості.

Приклад 2.

Розглянемо спрощену модель управління культиватора, в якому відбувається розмноження бактеріальних клітин і їх загибель, крім того в систему може надходити зовні певна кількість клітин. Введемо змінну стану - концентрацію клітин в час t. Тоді динаміку системи можна описати наступним рівнянням:

Нехай, для простоти с=1.

Тоді, при в системі не існує дійсних СТ; при існує одна СТ ; при існує дві СТ

Виходячи з критерію Ляпунова, всі значення є нестійкими, а - стійкими.

Тоді значення управління є біфуркацій ним, тому що, проходячи це значення, система змінює фазовий портрет.

Зміна фазового портрету (кількості чи типу СТ) називається біфуркацією (в прикладі, коли ). Катастрофа – це різка зміна динамічного типу поведінки системи.

При двовимірній системі можливі наступні ситуації навколо стаціонарних точок фазового простору.

(9).

Рівняння ізоклін: .

Особлива точка, коли невідомий кут при .

Така точка, зрозуміло, задає стаціонарний стан системи.

Дослідження стійкості точки стаціонарного стану базується на дослідженні характеру руху “збуреної” траєкторії:

(10)

Підставивши значення (10) в систему (9), і розклавши її в ряд Тейлора, маємо:

(11),

де – матриця похідних функцій правої частини по двом змінним в стаціонарній точці. Система (11) називається системою першого наближення.

Система (11) лінійна, а тому допускає аналітичний розв’язок. Загальний розв’язок шукають у вигляді:

.

Підставляючи в систему, отримуємо систему лінійних рівнянь:

Ця система має ненульові розв’язки, якщо

Розкрив визначник, маємо рівняння:

. (12)

Розв’язки рівняння (12) (якщо корені різні)мають вигляд:

Тоді зрозуміло, потрібно розділити наступні випадки:

1)корені дійсні і від’ємні; така СТ називається стійкий вузол

2)корені дійсні і додатні – нестійкий вузол

3)корені дійсні і різних знаків – сідло (нестійка СТ)

4)корені комплексні з від’ємними дійсними частинами – стійкий фокус (затухаючи коливання змінних)

5)корені комплексні з додатними дійсними частинами – нестійкий фокус (коливання навколо СТ зі зростаючими амплітудами)

6)корені без дійсних частин – центр (нестійка точка незатухаючих коливань).

Приклад 2 Модель «хижак-жертва»

Розглянемо одну з найпростіший двовимірних систем – модель «хижак-жертва» і (1926р.).- модель хімічної реакції з наступною схемою перетворення речовин: