Курс лекцій з дисципліни «Системи підтримки прийняття рішень» (стр. 12 )

Тоді, розв’язок запишеться наступним чином:

В режимі, що встановиться з часом, маємо: .

Зв’язок між двома вузлами, які з’єднані k можливими паралельними шляхами між собою, часто записується за формулою Мейсона.

Перед введенням формули дамо декілька означень.

З’єднання ланок впливу вхідних сигналів у вихідні можна за допомогою так званих:

a.  структурних схем: це схеми, які складаються з блоків направленої дії, кожному з яких відповідає ПФ

b.  сигнальних графів: діаграма, яка складається з вузлів (змінних входів і виходів), які з’єднанні направленими дугами, що описують зв'язок між ними. Дуги маркіруються ПФ.

Сума всіх сигналів, які входять в вузол, створює змінну цього вузла. Шлях – це неперервна послідовність дуг, які можуть бути проведені від одного вузла до іншого зі стрілками в одному напрямку.

Коефіцієнт передачі шляху - це добуток ПФ всіх гілок шляху.

Назвемо вузлом-джерелом ту вершину сигнального графу СУ, з якого стрілки ПФ тільки виходять. Навпаки, так вершина, в яку тільки направленні стрілки ПФ, назвемо вузлом-стоком.

Контур – замкнений шлях, який починається і закінчується в одному вузлі. Прямий контур – це контур, в якому кожен вузол зустрічається один раз.

Неперетинаємі контури – контури, які не мають спільних вузлів.

Розглянемо як приклад, систему лінійних рівнянь:

,

Яка ілюструється відповідним сигнальним графом з чотирма шляхами, які з’єднують відповідні вхідні вершини-джерела сигналів та з вершинами-стоками та , і трьома контурами: , та . Перші два контури не торкаються один одного.

Систему рівнянь можна переписати наступним чином:

Розв’язавши її за правилом Крамера, ми прийдемо до принципу побудови формули Мейсона, яка виглядає наступним чином:

- визначник графу

,

де - функції контурів графу, - функції двох контурів, які не торкаються між собою, - функції трьох контурів, які не торкаються між собою…

- вироджений визначник графу (крім контурів, які торкаються шляху ).

Формула Мейсон достатня проста, але її слід використовувати обережно, бо можна загубити вузол чи контур в чисельнику або знаменнику.

Приклад схеми з контуром – система зі зворотнім зв’язком.

Структурна схема і сигнальний граф виглядають так

Тут є один контур . Тобто

.

Є один прямий шлях з ПФ і немає контурів, які б не торкалися його, отже, . Отже,

Приклад: крокуючий робот з декількома кінцівками. Граф СУ має два шляхів з’єднання вхідної і вихідної змінною: 1- G1G2G3G4, 2-G5G6G7G8. Крім того, є контури L1=G2H2, L2=G3H3, L3=G6H6, L4=G7H7.

Контури L1, L2 не торкаються контурів L3, L4. Тоді

через те, що контури L1, L2 торкаються шляху 1. Аналогічно, .

Таким чином,

Взагалі, якщо система описується рівняннями

Тоді її образ після перетворення Лапласа виглядає наступним чином:

Вихід

.

Тоді матриця ПФ виглядає наступним чином:

.

Приклад: маятник чи RLC-ланцюг:

N3 Квантування

Взагалі, квантування необхідне, коли в системах управління використовується ЕОМ, як цифрова система.

Квантування можна визначити як представлення сигналу протягом періоду його дискретним аналогом, тобто послідовністю . Якщо , тоді називають періодом квантування, а величину - частотою квантування. Якщо величина вимірюється в секундах, тоді величина вимірюється в Гц.

Квантування часто

a.  породжується самою системою спостережень (вимірювань) СУ

-  радар: кожен оборот антени – період квантування;

-  економічні системи: період звітності в кінці дня, або місяця, або року.

b.  притаманне самій системі

-  біосистеми – біоритми, передача нервових імпульсів;

-  двигуни внутрішнього згорання – період запалення – створюється імпульс крутячого моменту.

c.  необхідне для цифрового дослідження неперервної системи з використання ЕОМ.

Загальне представлення лінійної моделі управління має наступний вигляд:

,

де - відповідно вектор-функції стану системи і її вихідних сигналів. Зазвичай матриця є нульовою.

Розв’язком системи рівнянь в час є наступна вектор-функція:

.

Це дає можливість квантування (дискретизації) моделі.

Квантована модель буде складатися з різницевих рівнянь:

,

де

Нехай, . Тоді, крок часу - період квантування.

Приклад.

Модель подвійного інтегратора має вигляд:

.

Це модель впливу прискорення на рух (наприклад, в фізичних системах – використання другого закону Ньютона), а саме

,

Тоді . .

Аналітичним розв’язком такої системи при є функція при .

Наприклад, при

	1	2	3	4
	0.5	2	4.5	8
	1	2	3	4

Тоді